Matematické Fórum

↑ james07:

1) Nevím, co myslíš pojmem "skupina", ale tyto vektory negenerují V2, protože jsou sice dva, ale nejsou lineátně nezávislé (viz 2)

2) vektory u1; u2;...; un jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když existují c1; c2;...; cn, z nichž alespoň jedno je nenulové, tak, že c1u1+c2u2+...+cnun=0.

Takže   a1 = (5;4) a a2 = (0;0) jsou lineárně závislé, protože např.  0*(5;4) + 5* (0;0) = (0;0)
(je zřejmé, že každá množina obsahující nulový vektor, je lineárně závislá)

3) Bázi V2 tvoří vektory, které jsou "přesně dva" (jak správně říkáš), ale navíc musejí být lineárně nezávislé. Tady to není báze už proto, že vektory nejsou dva, ale tři.

4) Tady to báze je. Nemohlo vyjít c2 = c3 = - c1 (to by znamenalo lineární závislost). Označím-li přece
c2 = c3 = - c1 = c <> 0, pak

-c (1;1;0) + c (0;1;1) + c (1;0;1)= (0;0;2c) což není nulový vektor.

"Počítání přes matici" máš dobře. Takže vektory jsou tři a jsou lineárně nezávislé => je to báze V3.

↑ james07:

K bodu 1: Ani pojem určující skupina jsem ještě neslyšel, ale už asi chápu, co by to mělo být - běžně se tomu říká generátor. Je to množina vektorů, jejichž lineární kombinace jsou schopny "vytvořit" (generovat) daný prostor. Např. vektory (1;0) (3;0) (5;0) nejsou generátorem V2, protože z nich "nevytvořím" např. vektor (0;1). Vektory (1;0) (3;0) (5;0) (0;1) už prostor V2 vytvoří, takže generátorem jsou.

K bodu 2 a 3: Generátor však může obsahovat "zbytečně moc" vektorů - to tehdy, když je jich víc než je dimenze prostoru - pro V2 stačí dva, pro V3 stačí tři atd. V předchozím případě stačí jen vektory (1;0), (0;1) nebo třeba (3;0), (0,1) atd.

Tyto vektory musejí být lineárně nezávislé (proto se lineární závislost a nezávislost zjišťuje). No a v generátoru, který obsahuje jen lineárně nezávislé vektory, není žádný vektor "zbytečný" a říká se mu báze.

Body 3 a 4 jsou dvě různé metody, jak rozhodnout, zda se jedná o lineárně závislé či nezávislé vektory. Podle bodu 3 většinou postupujeme u jednoduchých případů: vektory (1;0); (3;0); (5;0) nejsou lineárně nezávislé, protože např. 8*(1;0) -1* (3;0)-1* (5;0) = (0;0), bod 4 je "univerzální".

↑ james07:
Výsledky jsou špatně, množina vektorů {(-2,-4),(2,8)} generuje R2. Množina např. {(-2,-4),(2,4)} by negenenerovala, což poznáme snadno (když jsou vektory dva) - jeden je násobkem druhého, takže v té množině je jak píše martisek jeden "navíc". No, a když je navíc, tak je tam vlastně užitečný jen jeden. A jeden vektor nenageneruje prostor o dimenzi 2. Když tu soustavu vyřešíš, zjistíš, že nemá řešení.