Matematické Fórum

dendulka1991 · 01. 04. 2013 19:24

Ahoj, ve cvičení máme zadaný tento úkol, bohužel si s ním nevím rady. Máme dokázat, že kongruence je relace ekvivalence. Vím, že aby to byla ekvivalence, tak musí být reflexivní, symetrická a tranzitivní. Jak to ale dokázat? Díky moc!

Andrejka3 · 01. 04. 2013 19:31

↑ dendulka1991:
Ahoj, a která kongruence konkrétně?
Na $\mathbb{Z}$ , $a\equiv b \mod n$ ?

dendulka1991 · 01. 04. 2013 19:33

↑ Andrejka3:
Přesně tak, jak si to napsala.

Andrejka3

↑ dendulka1991:
Definice je:
$a \equiv b \mod n \:\iff \: n \mid a-b$ , kde
$a\mid b \iff \exists c:\; b=ac$ . Všechny prvky ze $\mathbb{Z}$ .
Zkusíš reflexivitu?

EDIT: CHYba opravena

dendulka1991 · 01. 04. 2013 20:27

↑ Andrejka3:
Takže reflexivita: a ≡ a (mod n) protože a - a = 0?

Andrejka3

↑ dendulka1991:
Ano. $n \in \mathbb{N}$ pevné, tedy $n \mid 0$ . (I kdyby n=0 tak to platí).

dendulka1991 · 01. 04. 2013 20:34

↑ Andrejka3: $n \in \mathbb{n}$
Přiznám se, ale nechápu tu tvoji první podmínku:) Takže pokud napíšu jako důkaz reflexivity to, co jsem napsala nahoře, tak je to ok?

Andrejka3 · 01. 04. 2013 20:38

↑ dendulka1991:
Není to dotažené. $a-a=0$ a $n \mid 0$ , tedy $a \equiv a \mod n$ .

dendulka1991 · 01. 04. 2013 20:45

↑ Andrejka3:
Super, díky moc! Ale ted ještě nevím, jak na symetrii a tranzitivitu... Pokud by tato relace měla být symetrická, pak by mělo platit: a ≡ b (mod n) ∧ b ≡ c (mod n) a z toho by mělo vyplývat, že a ≡ c (mod n). Ale jak toto dokázat?

Andrejka3 · 01. 04. 2013 20:47

↑ dendulka1991:
To mi spíše připomíná tranzitivitu.
Symetrie: $\forall a,b \in \mathbb{Z}:\; a \equiv b \Rightarrow b \equiv a$ . Dokaž přímo z definice.

dendulka1991 · 01. 04. 2013 20:51

↑ Andrejka3:
Myslím tranzitivitu a píšu symetrii... takže symetrie: a-b=c a b-a= -c. Takto si myslím, že by to mělo být, ale je to takové zase nedotažené...

Andrejka3 · 01. 04. 2013 20:53

↑ dendulka1991:
Takže pokud $n\mid c$ , je pravda, že $n \mid -c$ ?

dendulka1991 · 01. 04. 2013 21:00

↑ Andrejka3:
Měla by být. Takže ten důkaz by mohl být takto: a ≡ b (mod m) ⇒ a - b = c ⇒ b - a = -c ⇒ b ≡ a (mod m) ?

Matematické Fórum

#1 01. 04. 2013 19:24

Kongruence - jak dokázat, že je relace ekvivalence.

#2 01. 04. 2013 19:31

Re: Kongruence - jak dokázat, že je relace ekvivalence.

#3 01. 04. 2013 19:33

Re: Kongruence - jak dokázat, že je relace ekvivalence.

#4 01. 04. 2013 19:36 — Editoval Andrejka3 (01. 04. 2013 19:37)

Re: Kongruence - jak dokázat, že je relace ekvivalence.

#5 01. 04. 2013 20:27

Re: Kongruence - jak dokázat, že je relace ekvivalence.

#6 01. 04. 2013 20:32 — Editoval Andrejka3 (01. 04. 2013 20:32)

Re: Kongruence - jak dokázat, že je relace ekvivalence.

#7 01. 04. 2013 20:34

Re: Kongruence - jak dokázat, že je relace ekvivalence.

#8 01. 04. 2013 20:38

Re: Kongruence - jak dokázat, že je relace ekvivalence.

#9 01. 04. 2013 20:45

Re: Kongruence - jak dokázat, že je relace ekvivalence.

#10 01. 04. 2013 20:47

Re: Kongruence - jak dokázat, že je relace ekvivalence.

#11 01. 04. 2013 20:51

Re: Kongruence - jak dokázat, že je relace ekvivalence.

#12 01. 04. 2013 20:53

Re: Kongruence - jak dokázat, že je relace ekvivalence.

#13 01. 04. 2013 21:00

Re: Kongruence - jak dokázat, že je relace ekvivalence.

Zápatí