Matematické Fórum

crundy.20

Zdravím, zajímala by mě taková maličkost.

Vzorec pro poloviční uhel sinu je:

$|sin\frac{x}{2}|=\sqrt{\frac{1-cosx}{2}}$

zajímalo by mě, proč v tomto případě je tam ta absolutní hodnota, když sinus je kladný v první a druhém kvadrantu, tak at je x jakekoliv od 0-360, pokaždé vyjde x/2 mezi 0-180 stupnu, takze pořád kladné.

Za druhé by mě zajímalo, jaká by byla poloviční hodnota uhlu např. 400 stupnu, bralo by se to jako že je to vlastně 360+40, takže rovno 40 stupnum a x/2 by tedy bylo 20 a nebo tak jak to je, pak x/2 by bylo 200 stupnu a to by uz byla zaporna hodnota ( třetí kvadrant ).

Děkuji

BakyX · 02. 04. 2013 15:45 — Editoval BakyX (02. 04. 2013 15:46)

↑ crundy.20:

Ahoj. Funkcia $f(x)=\sin \frac{x}{2}$ nemá najmenšiu periódu $2\pi$ , ale $4\pi$ .

crundy.20 · 02. 04. 2013 15:49

funkce sin(x/2) ma periodu 4pi: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%2F2%29

crundy.20 · 02. 04. 2013 16:04

Tak ta abs. hodnota je tam když x>360stupnu, např. těch 400 tak x/2 je 200 a vyjde zaporně.

Rumburak · 02. 04. 2013 16:33

Zdravím také.

Na pravé straně vzorce Ti vypadl argument funkce cos.
Proč určitý vzorec má takový či onaký tvar, plyne z jeho odvození. Při odvozování vzorce

(1) $\left|\sin\frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$ neboli $|\sin y| =\sqrt{ \frac{1 - \cos 2y}{2}}$ ,

který Tě zajímá, vyjdeme z obecných vzorců

$\cos 2y = \cos^2y - \sin^2y$ , $\cos^2y + \sin^2y = 1$ ,

které se zpravidla dokazují dříve, než (1). Jejich kombinací dostáváme

$\cos 2y = (1 - \sin^2y) - \sin^2y = 1 - 2\sin^2y$ ,
odtud

$2\sin^2y = 1 - \cos 2y \\ \sin^2y = \frac{1 - \cos 2y}{2}\\|\sin y| =\sqrt{ \frac{1 - \cos 2y}{2}}$

(obecně platí, že předposlední z těchto rovnic má nezáprnou pravou stranu, proto "odmocnění" rovnice je korektní;
ryze kvadratická rovnice $z^2 = D$ pro $D\ge 0$ je ekvivalentní s rovnicí $|z| = \sqrt{D}$ , protože obě mají tytéž kořeny
$z_{1,2} = \pm \sqrt{D}$ ).

Že absolutní hodnota ve vzorci $|\sin y| =\sqrt{ \frac{1 - \cos 2y}{2}}$ není zbytečná, ukazují příklady $y \in (-\pi , 0)$ ,
kdy $\sin y < 0$ , takže zde $\sin y \ne \sqrt{ \frac{1 - \cos 2y}{2}} > 0$ .

Za druhé by mě zajímalo, jaká by byla poloviční hodnota uhlu např. 400 stupnu, bralo by se to jako že je to vlastně 360+40, takže rovno 40 stupnum a x/2 by tedy bylo 20 a nebo tak jak to je, pak x/2 by bylo 200 stupnu a to by uz byla zaporna hodnota ( třetí kvadrant ).

Správně je druhá varianta.

crundy.20 · 02. 04. 2013 16:48

Děkuji :)

Matematické Fórum

#1 02. 04. 2013 15:27 — Editoval crundy.20 (02. 04. 2013 15:45)

Gon. vzorec pro poloviční argument

#2 02. 04. 2013 15:45 — Editoval BakyX (02. 04. 2013 15:46)

Re: Gon. vzorec pro poloviční argument

#3 02. 04. 2013 15:49

Re: Gon. vzorec pro poloviční argument

#4 02. 04. 2013 16:04

Re: Gon. vzorec pro poloviční argument

#5 02. 04. 2013 16:33

Re: Gon. vzorec pro poloviční argument

#6 02. 04. 2013 16:48

Re: Gon. vzorec pro poloviční argument

Zápatí