Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1

 

#1 02. 04. 2013 13:14

kolejo
Místo: Brno
Příspěvky: 190
Škola: MUNI PřF OM, Alg
Pozice: student
Reputace:   5 
 

velikost podgrupy Zbytkové třídy 120

Dobrý den,
chtěl bych se zeptat, jestli uvažuji správně při určení velikosti této podgrupy.
$H \text{, podgrupa } (\mathbb{Z}_{120},+), \text{generovaná prvky} [15]_{120},[66]_{120}$
$\text{Jaká je její velikost? neboli } | \langle[15]_{120},[66]_{120}\rangle|$

15,30,...,90,105,120=0 to je osm různých prvků, se všemi inverzemi celkem 16 různých prvků
Ale to ne, protože 15 má inverzní 105, atd. tedy stále osm různých prvků
66,132=12, 78, 144=24, 90, 156=36, 102, 168=48, ...nevygeneruji takhle všechna sudá čísla?
Sudých od 1 do 120 je 60. K tomu přidám liché, protože sudé+15 nebo 75,45...

Generuje tedy moje dva prvky celé Z_120? Počet prvků by tedy byl sto dvacet?

Děkuji,
kolejo

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) kolejo)

#2 02. 04. 2013 14:02

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: velikost podgrupy Zbytkové třídy 120

Ahoj, urcite nie, lebo kazdy representant prvku generovaneho $\overline{62}$, je delitelny 3...

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 02. 04. 2013 14:05

kolejo
Místo: Brno
Příspěvky: 190
Škola: MUNI PřF OM, Alg
Pozice: student
Reputace:   5 
 

Re: velikost podgrupy Zbytkové třídy 120

↑ vanok:
Dobrý den, tam asi má být 66. Ano, každý reprezentant je tedy dělitelný 3. Takže všechny násobky šesti? Těch je tedy v Z_120 20, ale teď už tedy nevím, jak určit počet prvků |H|.

Offline

 

#4 02. 04. 2013 15:00

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: velikost podgrupy Zbytkové třídy 120

↑ kolejo:
Ahoj,
Zkus ukazat, ze nejmensi Nenulovy prvek podgrupy H je nsd(15,66,120). A pak ukazat, ze tento prvek generuje H.

"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#5 02. 04. 2013 15:19 — Editoval kolejo (02. 04. 2013 16:23)

kolejo
Místo: Brno
Příspěvky: 190
Škola: MUNI PřF OM, Alg
Pozice: student
Reputace:   5 
 

Re: velikost podgrupy Zbytkové třídy 120

↑ OiBobik:
Ahoj,
díky za radu, zní to dobře.
nsd(15,66,120)=3

Nejmenší nenulový prvek, nevím, jak bych to ukázal.
3*66-13*15=3, mě napadlo.

Jak bych tak mohl ukázat, že to generuje celé H? [3]_{120}
Tak...15 tam je, 66 tam taky je, tedy i všechny kombinace a inverze (aha, proto v gcd je aji 120)...

No nejsem si tak úplně jistý.
Je ten počet prvků H potom 40?
Děkuji moc,
kolejo

Offline

 

#6 02. 04. 2013 16:07 — Editoval vanok (02. 04. 2013 16:08)

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: velikost podgrupy Zbytkové třídy 120

Co mozes povedat o $< [15]_{120}> \cap < [66]_{120}>$?

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 02. 04. 2013 16:28

kolejo
Místo: Brno
Příspěvky: 190
Škola: MUNI PřF OM, Alg
Pozice: student
Reputace:   5 
 

Re: velikost podgrupy Zbytkové třídy 120

↑ vanok:
Děkuji. Průnik obsahuje [3]_120
$3=3*66-13*15$
$[3]_{120}=3*[66]_{120}-13*[15]_{120}+12767538273686732867[120]_{120}$
Tedy trojka je jistě obsažena v <[66]_120,[15_120]>

Tedy dokázali jsme:
$\langle[3]_{120}\rangle\subseteq \langle[15]_{120},[66]_{120}]\rangle$

Opačná inkluze je zřejmá, tedy tyto dvě podgrupy se rovnají, počet prvků té s tou trojkou je pak 40.

Počet prvků H je 40.

Správně? Mohu označit za vyřešené.
Děkuji,
kolejo

Offline

 

#8 02. 04. 2013 17:07

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: velikost podgrupy Zbytkové třídy 120

Dokazes napisat vsetki prvky $< [15]_{120}> $?

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 02. 04. 2013 17:28 — Editoval OiBobik (02. 04. 2013 17:38)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: velikost podgrupy Zbytkové třídy 120

↑ kolejo:
Jinak kdyz mas cykl grupu radu n a v ni prvky a1 ... ak, tak podgrupu generovanou a1 ... ak najdes vzdy jako cyklickou podgrupu s generatorem d:=nsd(a1, ... ak, n): na  jednu stranu jsou a1, ... ak generovany prvkem d, protoze jsou to vsechno nasobky d. A na druhou stranu podle Bezoutovy vety existuji celciselne koeficienty b1, ... bk, b(k+1), ze plati a1b1+a2b2+...+akbk+nb(k+1)=d - coz ukazuje, ze d je v podgrupe generovane prvky a1, ... ak.

Jinak to, ze je to nejmensi kladny prvek, je v tomto kontextu asi opravdu takova informace navic - ale hodi se o nem takto uvazovat, kdyz chce clovek ukazat, ze podgrupa cyklicke grupy je cyklicka (a nechce pritom treba pouzivat toho Bezouta).

"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#10 02. 04. 2013 17:37

kolejo
Místo: Brno
Příspěvky: 190
Škola: MUNI PřF OM, Alg
Pozice: student
Reputace:   5 
 

Re: velikost podgrupy Zbytkové třídy 120

↑ vanok:
Jsou to 15,30,45,60,75,90,105,120?
(kde 120 je jako 0)

↑ OiBobik:
Souhlas, děkuji :)

Offline

 

#11 02. 04. 2013 18:47 — Editoval vanok (02. 04. 2013 18:51)

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: velikost podgrupy Zbytkové třídy 120

Iste vies, ze $< [15]_{120}> \cap < [66]_{120}>$, je potom taka grupa, co musi mat menej ako 8 prvkov. ( preco?)

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#12 02. 04. 2013 19:58

kolejo
Místo: Brno
Příspěvky: 190
Škola: MUNI PřF OM, Alg
Pozice: student
Reputace:   5 
 

Re: velikost podgrupy Zbytkové třídy 120

↑ vanok:
Ehm, tak protože jen v té levé části průniku je osm a v průniku nemůže být víc prvků než v množinách, jejichž průnik zjišťujeme. Tedy, snažím se popsat něco, co mi připadne zřejmé. Skutečně nevím, kam tím míříte. Ale věřím, že k vyššímu poznání, velké díky.
kolejo

Offline

 

#13 02. 04. 2013 21:32

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: velikost podgrupy Zbytkové třídy 120

cize staci vysetrit ktore prvky z $< [15]_{120}> $ su v $ < [66]_{120}>$

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#14 02. 04. 2013 22:09

kolejo
Místo: Brno
Příspěvky: 190
Škola: MUNI PřF OM, Alg
Pozice: student
Reputace:   5 
 

Re: velikost podgrupy Zbytkové třídy 120

↑ vanok:
Ahá, ok, děkuji.
Tak označuji za vyřešené a objasněné.

Offline

 

 

Stránky: 1

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson