Matematické Fórum

cs.pata · 02. 04. 2013 19:39

čaute , byl by prosím někdo tak hodný a pokusil se mi vysvětlit jak se počitají tyto příklady s ukázkou postupu :)

Zadaní: Určete hodnotu křivkového integrálu
$\int_{\Gamma }^{}\frac{z^{-1}*\sin z}{z^{2}-25}dz$
kde $\Gamma$ je kladně orientovaná kružnice určena rovnicí $|z-5|=\frac{15}{2}$

Brano · 02. 04. 2013 23:14 — Editoval Brano (03. 04. 2013 14:07)

$\int_\gamma f(z)dz=2\pi i\sum_k res(f,z_k)$
kde ta suma je cez singularne body (odstranitelne sa mozu vynechat) v oblasti ohranicenej $\gamma$ (ak je orientovana kladne)
v tomto pripade je to iba pol $z_1=5$ lebo $z^{-1}\sin z$ je holomorfna a druhy pol $z_2=-5$ je mimo oblasti.
jedna sa o pol prveho stupna a teda
$res(f,5)=\lim_{z\to 5}(z-5)\frac{z^{-1}\sin z}{z^2-25}=\frac{5^{-1}\sin 5}{5+5}=\frac{\sin 5}{50}$
a teda ten integral je
$\frac{\pi i\sin 5}{25}$

edit: opravena nepresnost

cs.pata · 03. 04. 2013 19:11

↑ Brano:ale i ta nula tam bude ne ??? když to upravím tak $\int_{\Gamma }^{}\frac{\sin z}{z(z^{2}-25)}dz$ poly jsou tím pádem 0 ,-5 a 5 a nula do té křivky patří ne ?

Brano · 03. 04. 2013 20:23

ano patri ale je to odstranitelny singularny bod a v tych je vzdy residuum $=0$ lebo residuum je z definicie $a_{-1}$ - t.j. $-1$ koeficient v Laurentovom rade a ked je funkcia v nejakom bode holomorfna, tak vsetky koef. so zapornym indexom su nulove.

cs.pata · 03. 04. 2013 20:33

↑ Brano:aha rozumim diky :)

Matematické Fórum

#1 02. 04. 2013 19:39

Integrál z funkce komplexní proměnné

#2 02. 04. 2013 23:14 — Editoval Brano (03. 04. 2013 14:07)

Re: Integrál z funkce komplexní proměnné

#3 03. 04. 2013 19:11

Re: Integrál z funkce komplexní proměnné

#4 03. 04. 2013 20:23

Re: Integrál z funkce komplexní proměnné

#5 03. 04. 2013 20:33

Re: Integrál z funkce komplexní proměnné

Zápatí