Matematické Fórum

Jakub007 · 02. 04. 2013 17:53

Tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti mají součet 21. Zmenší-li se prostřední číslo o 1 a zvětší-li se poslední člen o 6, vzniknou tři po sobě jdoucí členy posloupnosti geometrické. Určete členy obou posloupností.
nevím si s tím dát rády...Děkuji

Brano · 02. 04. 2013 18:29

Nech $x,y,z$ su po sebe tie cleny geometrickej postupnosti t.j.
$\frac{z}{y}=\frac{y}{x}$
cleny aritmetickej su potom $x,y+1,z-6$ t.j.
$(z-6)-(y+1)=y+1-x$
a este vieme
$x+y+1+z-6=21$

cize
$x+y+z=26$
$x-2y+z=8$
$y^2=xz$

odcitame druhu od prvej a dostaneme $3y=18$ cize $y=6$ a dosadime do prvej a tretej.
$x+z=20$
$xz=36$
vyjadrime z prvej $z$ a dosadime do druhej ... $x^2-20x+36=0$ t.j.
$x_1=2$ $x_2=18$ a potom $z_1=18$ $z_2=2$

Vysledok:
geometricka $2,6,18$ a aritmeticka $2,7,12$
alebo
geometricka $18,6,2$ a aritmeticka $18,7,-4$

kadedemon · 02. 04. 2013 20:27

↑ Brano:

jenom jse mse chtěl zeptat, existuje ještě nějaký jiný způsob výpočtu?

jelena · 02. 04. 2013 23:56 — Editoval jelena (03. 04. 2013 21:36)

↑ kadedemon:

Zdravím,

kolega ↑ Brano: začínal od geometrické posloupnosti. Začnu od aritmetické: prostřední člen označím $a$ ,
potom první je $a-d$ ,
poslední je $a+d$ .
Dle zadání: $a-d+a+a+d=21$ , odsud vypočtu prostřední člen $a=7$ .

V geometrické:
první člen beze změny $a-d$ (jelikož a už znám, potom je to $7-d$ ),
druhý člen je zmenšen o 1 $7-1=6$ , (zde EDIT dle kolegy Cheopa)
třetí člen je zvětšen o 6: $a+d+6=7+d+6=d+13$ .

Jelikož posloupnost geometrická, platí $\frac{6}{7-d}=\frac{d+13}{6}$ (také edit)

Za své součty neručím.

Cheop · 03. 04. 2013 07:48 — Editoval Cheop (03. 04. 2013 07:51)

↑ jelena:
Zdravím:-)
Podle tvého značení není druhý člen geometrické posloupnosti 7+1. ale 7-1
a pak bude pro geometrickou posloupnost platit:
$\frac{6}{7-d}=\frac{d+13}{6}$

jelena · 03. 04. 2013 10:11

↑ Cheop:

:-) děkuji. Věděla jsem, že to nedám.

já jsem napsal(a):
Za své součty neručím.

Také je u vás tak pohádkově? Zdravím.

Cheop · 03. 04. 2013 10:36

↑ jelena:
U nás je počasí v pohodě.
Napadlo v minulých dnec cca 15 cm sněhu, ale už to celkem slušně taje.
Zítra by dle předpovědi ještě mohlo něco sněhu připadnout.

jelena · 03. 04. 2013 12:50

↑ Cheop:

u nás také :-) 01.04. jsme vyrazili na běžky, ale lepilo se to. Dnes večer to snad napravíme - vypadá to lépe. ↑ Původní problém : nám tiše zapadává sněhem, potom odklidím.

Jakub007 · 03. 04. 2013 19:19

↑ jelena:
ale nechápu proč když je v zadání, že střední člen zmenším o 1 proč si zmenšila ten první?

jelena · 03. 04. 2013 21:37

↑ Jakub007:

Zdravím,

já jsem označila $a$ - prostřední člen, abych využila, že při sestavení rovnice "zmizne" d. Ovšem kolega ↑ Cheop: upozornil, že mám překlep při zápisu - opravila jsem příspěvek ↑ 4:. Je všechno srozumitelné? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 02. 04. 2013 17:53

posloupnost

#2 02. 04. 2013 18:29

Re: posloupnost

#3 02. 04. 2013 20:27

Re: posloupnost

#4 02. 04. 2013 23:56 — Editoval jelena (03. 04. 2013 21:36)

Re: posloupnost

#5 03. 04. 2013 07:48 — Editoval Cheop (03. 04. 2013 07:51)

Re: posloupnost

#6 03. 04. 2013 10:11

Re: posloupnost

já jsem napsal(a):

#7 03. 04. 2013 10:36

Re: posloupnost

#8 03. 04. 2013 12:50

Re: posloupnost

#9 03. 04. 2013 19:19

Re: posloupnost

#10 03. 04. 2013 21:37

Re: posloupnost

Zápatí