Matematické Fórum

jirkaskalda · 03. 04. 2013 17:54

Dobrý den, mohl by mi prosím někdo pomoci s řešením rovnice $3x=\ln (x^{2}-1)$ ? Jediný směr, kterým jsem se hnul, je ke tvaru $e^{3x}=x^{2}-1$ . Dál už s tím příkladem nehnu, respektive všechny cesty, které jsem zkoušel, brzo ztroskotaly. Předem díky moc za pomoc.

Brzls · 03. 04. 2013 18:16

A jsi si jistý že lze zadaná rovnice řešit analyticky? Tedy víš jistě že se dá určit řešení jinak než numerickými metodami?

jirkaskalda · 03. 04. 2013 18:17

Jistý si nejsem, ale zkouším, jestli tu ta možnost je a jestli ji někdo ovládá.

Stýv · 03. 04. 2013 18:18

wolframalpha to počítá numericky, takže to asi nikdo z nás nespočítá

martisek · 03. 04. 2013 18:54

↑ jirkaskalda:

Analyticky to řešit nelze, lze ale poměrně jednoduše numericky.

V první řadě je třeba provést separaci kořenů, tj. zjistit, kolik kořenů rovnice vlastně má a intervaly, ve kterých leží vždy jeden z kořenů. Provedeme nejlépe tak, že do jedné souřadnicové soustavy načrtneme grafy funkcí $e^{3x}$ , $x^{2}-1$ a zjistíme jejich průsečíky. V tomto případě je průsečík jediný, a to v intervalu <-2;-1> velmi blízko mínus jedničky.

Druhý krok spočívá ve zvolení vhodné iterační metody a její aplikaci. V tomto případě bych asi z té mínus jedničky nastartoval metodu tečen. Tedy počáteční aproximace je x_0=-1 a dalšího přibližování ke kořenu dosáhneme postupným dosazováním do vzorečku:

Obecně:

$x_{k+1}= x_k-\frac {f(x_k)} {f^{'}(x_k)}$

v našem případě tedy

$x_{k+1}= x_k-\frac {e^{3x_k}-x_k^2+1} {3e^{3x_k}-2x_k}$

Matematické Fórum

#1 03. 04. 2013 17:54

logaritmická rovnice s přirozeným logaritmem

#2 03. 04. 2013 18:16

Re: logaritmická rovnice s přirozeným logaritmem

#3 03. 04. 2013 18:17

Re: logaritmická rovnice s přirozeným logaritmem

#4 03. 04. 2013 18:18

Re: logaritmická rovnice s přirozeným logaritmem

#5 03. 04. 2013 18:54

Re: logaritmická rovnice s přirozeným logaritmem

Zápatí