Matematické Fórum

The_Founder · 03. 04. 2013 22:40

Mam rovnicu
$||x+1|-3|=1$
Vyriešil som ju nasledovne
Rozdelil som nulové body na tieto intervaly
$(-\infty ;-1);<-1;2);<2;+\infty )$
a potom som vypočítal výsledok
$\{-5;1;3\}$ ; lenže správny výsledok má byť
$\{-5;-3;1;3\}$ a nijakým spôsobom neviem získať tú $-3$

zdenek1 · 03. 04. 2013 22:51

↑ The_Founder:
$||x+1|-3|=1$
$|x+1|-3=1$ nebo $|x+1|-3=-1$
$|x+1|=4$ nebo $|x+1|=2$
$x+1=4$ nebo $x+1=-4$ nebo $x+1=2$ nebo $x+1=-2$

The_Founder · 03. 04. 2013 22:55

↑ zdenek1:
Wow, tak toto som nevedel, že sa sato môže aj takto upraviť.
Díky za pomoc.

Praha505

ahoj, můžu se zeptat, jak příjdu na tu -5 ? Na 3 a 1 jsem přišel díky nulovým bodům lehce, ale ta -5 a -3 mi vrtá hlavou. Děkuji

EDIT - aha díky tomu příspěvku už vím, jen mě zaráží ty úpravy.
Vysvětlil by mi někdo prosím, jak je možné, že vypustíme tu absolutní hodnitu a na pravé straně změníme znaménko?

The_Founder · 03. 04. 2013 23:25

Pre $-5$ použi $|x+1|=4$
$-x-1=4$
$-x=5$
$x=-5$
a pre $-3$ použi $|x+1|=2$
$-x-1=2$
$-x=3$
$x=-3$

Praha505 · 03. 04. 2013 23:28

↑ The_Founder:

Už jsem na to taky přišel, ale díky. Btw jak je možné, že se tam vypustí ta absl. Hodnota a změní znaménka na pravé straně?

The_Founder · 03. 04. 2013 23:36

tiež neviem prečo to tak funguje, ale výsledok je správny, takže ten postup je dobrý

bejf · 04. 04. 2013 00:49

↑ The_Founder:
Protože absolutní hodnota je vzdálenost bodu od počátku.
Vzdálenost nemůže být nikdy záporná. Nikdy neřekneš, že jsi vzdálen třeba -5 metrů od lampy. Vždy uvedeš jen 5 metrů, tedy kladnou hodnotu, a to ať stojíš v jakémkoli směru od ní.
Pokud se takovýmto způsobem podíváš na absolutní hodnotu na číselné ose x, tak zjistíš, že od nuly má vzdálenost dvou bodů kladná dvojka i záporná dvojka.
Takže $|2|=2$ a taky $|2|=-2$ . Jedna absolutní hodnota značí rozpad na dva případy.

Proto $||x+1|-3|=1$ se rozpadne na $-|x+1|+3=1$ a $|x+1|-3=1$ .
Tedy $|x+1|=2$ a $|x+1|=4$
A tyto dvě se nám rozpadnou každá na další dvě, celkem na čtyři.
$|x+1|=2 \nl -(x+1)=2 \Rightarrow x=-3\nlx+1=2 \Rightarrow x=1$ $|x+1|=4\nl -(x+1)=4 \Rightarrow x=-5 \nl x+1=4 \Rightarrow x=3$
$x\in \{-5;-3;1;3\}$

The_Founder · 04. 04. 2013 10:07

↑ bejf:
Díky za vysvetlenie.
A ako by to fungovalo v prípade nerovnice.
Otočoli by sa len znamienka alebo aj rovnosť? (Myslím $\le$ sa zmení na $\ge$ a naopak)??

bejf · 04. 04. 2013 10:56

↑ The_Founder:
Na to si musíš dát velký pozor, no.
Když bys měl $||x+1|-3|\le 1$ , tak se ti to rozpadne nejprve na dva případy (odstraníš krajní absolutní hodnotu).
$-|x+1|+3\le 1$ a $|x+1|-3\le 1$ .
Analogicky tyto dvě se rozpadnou každá na další dvě, tedy celkem na čtyři.
Tady u této násobíš -1, takže se nerovnost obrací, a pak se řeší ty dva možné případy
$-|x+1|+3\le 1 \Rightarrow |x+1|\ge 2 \nl -(x+1)\ge 2 \Rightarrow x\le -3\nl x+1\ge 2 \Rightarrow x\ge 1$ $|x+1|-3\le 1 \Rightarrow |x+1|\le 4 \nl -(x+1)\le 4 \Rightarrow x\ge -5 \nl x+1\le 4 \Rightarrow x \le 3$
Potom je nutné si ty intervaly "srovnat", protože řešením musí být průnik prvního intervalu z první abs. hodnoty s prvním intervalem druhé abs. hodnoty - tedy $(-\infty,-3\rangle\cap \langle-5,+\infty)$ a pak ještě druhý interval z první abs. hodnoty s druhým intervalem druhé abs. hodnoty - tedy $(\infty,3\rangle\cap\langle1,+\infty)$
Tyto dva průniky si zapíšeme a sjednotíme:
$\langle-5,-3\rangle \cup \langle1,3\rangle$