Ahoj. Na co jsem zatím přišel:
Skrytý text:1) f(x)=f(1-x) (zřejmé). Edit: Ve skutečnosti platí jen f(f(x))=f(f(1-x)), takže předchozí rovnost platit nemusí, už nemůžu najít včerejší zápisky, podle kterých jsem předchozí rovnost odvodil (možná chybně).
2) Označíme-li pravou stranu rovnosti jako g(x), pak f a g komutují, tj. f(g(x))=g(f(x)). Plyne z f(a)=x1, pak tedy f(x1)=g(a) a tedy f(g(a))=g(x1)=g(f(a)).
3) Má-li f všude derivaci, pak má jediný extrém v x=1/2, tj. od tohoto bodu "vlevo" a "vpravo" je monotónní. (Plyne snadno zderivováním uvedené rovnosti.)
4) f nemá nulové body
5) Hypotéza:
