Matematické Fórum

M4man · 04. 04. 2013 21:27

Ahojte mám takový menší problém se zápisem.... Pomohl by mi někdo?

Je dán kosý kužel

poloměr: r= 18cm
nejdelší strana= 25cm
nekratší strana= 29 cm
V=?

Kvůli dalším výpočtům začínám s obecným trojuhelníkem
o stranách a=25
b=29
c=36
Dosadím do cosinové věty: c nadruhou= a nadruhou+ b nadruhou -2ab* cosinus gama
a vyšlo mi cosinus gama= 81
Jak mám prosímm vás dále upravit 81?
Chtěl jsem vypočítat úhel abych mohl dopočítat v pravoúhlém torjuhelníku zbývající úhel a pomocí funkce dopočítat výšku tělěsa a následně dosadit zbývající hodnoty do vzorečku pro V kužele.. Děkuji za odpověď..

martisek · 04. 04. 2013 21:38

↑ M4man:

Kosinus gama nemůže vyjít 81. Musí být z intervalu <-1;1>. Nevím, který úhel je gama, ale je třeba spočítat některý z úhlů, který svírá strana s podstavou, pak je možné spočítat výšku kužele.

byk7 · 04. 04. 2013 21:57

↑ M4man:
Nechť nejdelší strana je $s_1$ , nejkratší $s_2$ , $\varphi$ úhel sevřený úsečkami o délkách $2r$ a $s_2$ a $v$ je výška kuželu.

Z kosinové věty máme $s_1^2=s_2^2+(2r)^2-4rs_2\cos(\varphi)$ odkud dostáváme $\varphi=\arccos$\frac{4r^2+s_2^2-s_1^2}{4rs_2}$$ .

Dále zřejmě platí $\sin(\pi-\varphi)=\frac{v}{s_2}\Rightarrow v=s_2\sin(\varphi)$ .

Pro objem tak dostáváme $V=\frac13\pi r^2s_2\sin(\varphi)$ .

Ještě můžeme s využitím vztahu $\sin\big(\arccos(x)\big)=\sqrt{1-x^2}$ upravit výraz $\sin(\varphi)$ :
$\sin(\varphi)=\sin$\arccos\(\frac{4r^2+s_2^2-s_1^2}{4rs_2}$\)=\sqrt{1-$\frac{4r^2+s_2^2-s_1^2}{4rs_2}$^2\ }$

Objem tak pomocí známých údajů můžeme vyjádřit jako (po pár algebraických úpravách, sám si vyber nejhezčí variantu :-)
$V&=\frac13\pi r^2\sqrt{1-$\frac{4r^2+s_2^2-s_1^2}{4rs_2}$^2\ }=\frac13\pi r^2\sqrt{s_2^2-$r+\frac{s_2^2-s_1^2}{4r}$^2\ }= \\ &=\frac{1}{12}\pi r\sqrt{$s_1+s_2+2r$$-s_1+s_2+2r$$s_1-s_2+2r$$s_1+s_2-2r$}$ .

Matematické Fórum

#1 04. 04. 2013 21:27

Kosý kužel

#2 04. 04. 2013 21:38

Re: Kosý kužel

#3 04. 04. 2013 21:57

Re: Kosý kužel

Zápatí