Matematické Fórum

half11 · 05. 04. 2013 10:16

Dobrý den, prosím poradil by mi někdo jak nalézt kořeny této rovnice :
$a^{3}-7a^{2}+19a-13=0$

Moc děkuji

rleg · 05. 04. 2013 10:33

↑ half11:

Ahoj
v těchto případech se vyplatí zkusit, jestli polynom je beze zbytku dělitelný výrazem (a+1) nebo (a-1).

zdenek1 · 05. 04. 2013 10:33

↑ half11:
Uhodneš, že jeden kořen je $a_1=1$ a vydělíš, čímž získáš kvadratickou rovnici.

half11 · 05. 04. 2013 11:15

Takže celý ten zlomek dělím: $(a-1)$
Takže dostanu : $(a-1)*(a^{2}-6a+13)$
A dále už vím jak nato.
A ještě kdyby tam bylo $a^{3}-7a^{2}+19a+13=0$

tak by to bylo jak ?

BakyX · 05. 04. 2013 11:21 — Editoval BakyX (05. 04. 2013 11:24)

↑ half11:

V takom prípade by tá rovnica nemala žiaden racionálne koreň. Ak by si veľmi chcel presný výsledok, tak by si musel použiť

http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_func … c_function ,čo teda rozhodne nie je pekné ani elegantné.

Poznámka: Racionálne korene rovnice $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$ , $a_n \neq 0$ , $a_0 \neq 0$ hľadáš v tvare $\frac{p}{q}$ , kde $p \in \mathbb{Z}$ , $q \in \mathbb{N}$ , $D(p,q)=1$ , $p \,|\,a_0$ , $q\ | a_n$ .

V tvojej rovnici sú teda možné racionálne korene iba čísla z množiny $\{-13,-1,1,13\}$

martisek

↑ half11:

Tak to už holt neuhodneš. Je pravda, že podobně jako na kvadratickou rovnici existují i na rovnici třetího stupně vzorečky pro výpočet kořenů (Cardanovy vzorce), ale ty jsou už dost složité a prakticky se nepoužívají. "Školské" rovnice vyšších stupňů se zadávají tak, aby to uhodnout šlo (na VŠ je to "hádání" poněkud usnadněno tzv. Hornerovým schématem), rovnice, které po nás "háže" praxe (anebo nezodpovědní všetečkové, kteří nám tam třeba mění znaménka :-) se řeší numericky.

half11 · 05. 04. 2013 11:48

A ta rovnice : $a^{3}-7a^{2}+19a+13=0$ by se tím Hornerovým schematem řešila jak prosím ?

martisek

↑ half11:

Na kořeny, které nelze stanovit "uhodnutím", je krátké i Hornerovo schéma - to je nástroj na stanovování hodnot polynomu pro různá x (je to snažší než mechanické dosazování, počítání mocnin atd). Máme např. stanovit hodnotu polynomu

x^4+3x^3-3x^2-11x+6
pro x=-2.

Můžeme dosadit a začít opočítat:

(-2)^4+3*(-2)^3-...

což je dost pracné. Pan Horner kdysi vymyslel toto:

V prvním řádku jsou koeficienty polynomu, druhý začíná požadovaným x a pokračuje se tak, jak je naznačeno. Poslední číslo je hledaná hodnota. Je to méně pracné, ale neumí to vlastně nic jiného. Tekže neumí to kořen vypočítat, ale pokud ho uhodneme, snadněji ověří, že to kořen skutečně je.

Např. x=1/2 je kořenem polynomu 2x^3+3x^2+6x-4. Hornerovo schéma nám to snadno ověří:

2 3 6 -4
1/2 2 4 8 0

Ale jak na tu polovinu máme přijít, to se z tohoto schématu bohužel nedovíme....

half11 · 05. 04. 2013 12:35 — Editoval half11 (05. 04. 2013 12:53)

Takže ta moje rovnice by se teda nedala řešit ani tím Hornerovým schematem když nevím jakoby to x..
No tak leda použít asi nějaký matematický SW, že ?
teda to schema požít na tu první a jakoby za x by se teda dalo 1, je to tak ?

martisek

↑ half11:

Je to tak. V případě té první rovnice by to bylo takto:

1 -7 19 -13
1 1 -6 13 0

U druhé rovnice

1 -7 19 13
1 1 -6 13 26

Takže pro x=1 má druhý polynom hodnotu 26. Pro jedničku ale není Hornerovo schéma potřeba - jednička na cokoliv je opět jednička, takže stačí pouze spočítat 1-7+19-13 =0 resp. 1-7+19+13 =26. Hodí se až pro testování 2;-2; 3;-3 atd.

Funguje sice pro libovolný kořen - druhá rovnice má např. kořen -0,55961061898932..

1 -7 19 13
-0,55961061898932 1 ....... 0,

ale jednak kdo by něco takového hádal a druhak - kdo by se s tím pak počítal. A vlastně ještě třeťak - nula by to nevyšla úplně přesně - kořen je iracionální a takto použít lze jen konečný počet míst...

half11 · 05. 04. 2013 16:45 — Editoval half11 (05. 04. 2013 17:40)

Tak moc děkuji za vysvětlení. Ono stejně asi budu mít ty rovnice aby to hezky vyšlo :), jen mne zajímalo jak by to bylo kdyby to nešlo . Tak moc děkuji za rady ...

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2013 10:16

Kořeny rovnice

#2 05. 04. 2013 10:33

Re: Kořeny rovnice

#3 05. 04. 2013 10:33

Re: Kořeny rovnice

#4 05. 04. 2013 11:15

Re: Kořeny rovnice

#5 05. 04. 2013 11:21 — Editoval BakyX (05. 04. 2013 11:24)

Re: Kořeny rovnice

#6 05. 04. 2013 11:24 — Editoval martisek (05. 04. 2013 11:24)

Re: Kořeny rovnice

#7 05. 04. 2013 11:48

Re: Kořeny rovnice

#8 05. 04. 2013 12:09 — Editoval martisek (05. 04. 2013 12:10)

Re: Kořeny rovnice

#9 05. 04. 2013 12:35 — Editoval half11 (05. 04. 2013 12:53)

Re: Kořeny rovnice

#10 05. 04. 2013 15:57 — Editoval martisek (05. 04. 2013 15:58)

Re: Kořeny rovnice

#11 05. 04. 2013 16:45 — Editoval half11 (05. 04. 2013 17:40)

Re: Kořeny rovnice

Zápatí