Matematické Fórum

liamlim

edit: omlouvam se odeslal sem omylem tento prispevek driv nez jsem jej dopsal, prave jej dopisuji

zdravím všechny, včera ve škole jsem přemýšlel nad jistou věcí, a něco mě napadlo.

Uvědomil jsem si, že vlastně řešení kubické rovnice $4x^3-6x+k=0$ je pro k od nuly po 1 rovno $x= \sin \left(\frac{\text{arcsin(k)}}{3}\right)$ . nehledám další řešení, mě by teoreticky stačilo to jedno.

vím, že existují cardanovy vzorce na řešení těchto rovnic, můj dotaz tedy směřuje trochu jinam.

Otázka: Je možné nějak určit a) sinus komplexních čísla b) arcsin čísla většího než 1?

Ptám se proto, že pokud by toto možné bylo (nevím jestli existuje nějaká matematická teorie kde to možné je) pak by tímto způsobem šla vyřešit libovolná kubická rovnice ve tvaru $ax^3+bx+c=0$ Stačio by celou rovnici vynásobit číslem $\frac{4}{a}$ , tedy upravot na tvar $4x^3+\frac{4bx}{a}+\frac{4c}{a}=0$ kde po substituci $x=\frac{y}{z}$ obdržíme $\frac{4y^3}{z^3}+\frac{4by}{az}+\frac{4c}{a}=0$ Po vynásobení $z^3$

$4y^3+\frac{4byz^2}{a}+\frac{4cz^3}{a}=0$ A teď by stačilo zvolit $z$ tak, aby $\frac{4bz^2}{a}=-6$ .

Tady je ten problém. někdy vyjde $b$ komplexní, a nevím, jestli potom vyhovuje $y$ podle výše zmíněné rovnosti. A někdy vyjde $b$ větší jak 1, a zde mám také podezření, že to nejde.

Otázky mám tedy nakonec dvě, jde určit sinus komplexního čísla? a arkus sinu čísla většího jak 1? za odpovědi díky.

Brano · 05. 04. 2013 15:11

nemas tam nahodou preklep, t.j. nemalo by byt:
$4x^3-3x+k=0$ ?

sinus sa da bez problemov definovat pre vsetky komplexne cisla pomocou radu alebo pomocou
$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$
kde $e^w$ je definovane radom.

$\arcsin x$ pre lubovolne $x$ je potom riesenie
$x=\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$
substituuj $e^{iz}=y$ a dostanes kvadraticku rovnicu tu vyriesis a zlogaritmujes, len pozor, logaritmus je v komplexnych cislach multifunkcia, ale nejake to $+2k\pi i$ by potom nemalo prekazat, lebo ten dalsi sinus by to mal zredukovat na prave tri riesenia

ale cela tato masineria asi nie je jednoduchsia ako klasicka "ars magna"

liamlim

↑ Brano:

Díky za odpověď. Jestli je to překlep, na to se ještě podívám... Ale s tím zbytkem. Určitě se pokusím na to podívat ale to už se mi zdá dost těžké. Prostě jsem si ve škole jen nějak tvořil se siny až jsem najednou viděl kubickou rovnici, a napadlo mě, že by tak možná šla řešit libovolná kubická rovnice bez kvadratického členu. tak mě napadla ta substituce.

Jinak, logaritmus neumím ani v reálných číslech nějak zvlášť, zatím jsem jej nějak moc nepotřeboval, tak se na něj určitě podívám.

jestli sem příspěvek dobře pochopil, tak postup, který jsem an začátku zvolil, by nakonec vedl k cíli, za což bych byl moc rád, třeba někdy v budoucnu postup dokončím do konce

edit: ano, má tám být 3 a ne 6. Vím proč jsem to tak napsal, ve škole jsem to zkoušel u k = 0.5 a celou rovnici sem násobil dvěmi, proto se tam vyskytla šestka. Jak sem doma přepisoval to, co vím, tak jsem si spletl čísla.

Brano · 05. 04. 2013 17:52

ono v skutocnosti z kazdej kubickej rovnice vies odstranit kvadraticky clen substituciou $x=y+q$ pre vhodne $q$ .

liamlim

↑ Brano:

takže vlastně takto bych mohl teoreticky řešit libovolnou kubickou rovnici? tak to je zajimave. Na to se podivam. Naštěstí jsem zjistl, že sinus komplexnich cisel muze byt a vzhledem k tomu že jste mi říkal, že to budu muset logaritmovat, pak sem asi konečně naŠel důvod proč se logaritmovt naučit.

protože pokud bych zvolil substituci $x=y+q$ tak bych mohl potom udělat přesně ten psotup co jsem napsal když mi bude chybět ten kvadratický člen

Brano · 05. 04. 2013 18:14

rovnice tretieho stupna sa tak vo vseobecnosti dost tazko robia bez pomerne slusnej znalosti komplexnych cisel, takze to by som odporucil ako krok spravnym smerom ... len ti neviem poradit ziadnu knizku ... mozno niekto iny to tu bude vediet

liamlim · 05. 04. 2013 18:19

komplexní čísla jsem se učil jendu chvíli odtud http://mks.mff.cuni.cz/archive/30/9.pdf ze stránek pražského matematického semináře. Přišlo mi, že je to napsáno zajímavě a docela dobře se mi to četlo, ale nějak sem si nedokázal nikdy představit, jak vůbec může platit exponenciální tvar komplexního čísla, přišlo mi strašně divné mít tu imaginární jednotku v exponentu

Brano · 05. 04. 2013 18:54

na hlbsie pochopenie $e^z$ treba mocninove rady - to sa obvykle berie na predmete matematicka analyza, resp. komplexna analyza, ak by si mal zaujem, tak ti k tomu mozem nieco napisat

liamlim · 05. 04. 2013 19:02

↑ Brano:

já mám určitě zájem to pochopit. Ale právě myslím si že zrovna tuto věc bych s mými současnými znalostmi asi pořádně nepochopil. O jaké části matematiky bych si měl přečíst, abych to mohl třeba pochopit? myslím si, že z komplexních čísel docela možná chápu asi jen goniometrický tvar, moivierova věta a algebraický tvar komplexních čísel. K pochopení $e^z$ je to asi málo, že?

Brano · 06. 04. 2013 00:16

mali ste uz limity? pre realne funkcie by stacili

liamlim · 06. 04. 2013 13:20

↑ Brano:

limity jsme neměli, ale když jsem se učil derivace tak jsem se učil i limity. Navíc jsem o nich měl kdysi nějakou přednášku, tak myslím že ty bych zvládl

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2013 14:25 — Editoval liamlim (05. 04. 2013 14:43)

kubická rovnice

#2 05. 04. 2013 15:11

Re: kubická rovnice

#3 05. 04. 2013 15:22 — Editoval liamlim (05. 04. 2013 15:31)

Re: kubická rovnice

#4 05. 04. 2013 17:52

Re: kubická rovnice

#5 05. 04. 2013 18:02 — Editoval liamlim (05. 04. 2013 18:04)

Re: kubická rovnice

#6 05. 04. 2013 18:14

Re: kubická rovnice

#7 05. 04. 2013 18:19

Re: kubická rovnice

#8 05. 04. 2013 18:54

Re: kubická rovnice

#9 05. 04. 2013 19:02

Re: kubická rovnice

#10 06. 04. 2013 00:16

Re: kubická rovnice

#11 06. 04. 2013 13:20

Re: kubická rovnice

Zápatí