Matematické Fórum

MirekH · 05. 04. 2013 17:47

Ahoj, mohl byste mi prosím někdo vysvětlit, jak dospěli v učebnici kombinatoriky pro SŠ k závěru, že
$P(A \cup B|A) = 1$ ?
Problém mám hlavně s významem $B|A$ . Znám podmíněnou pravděpodobnost
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ ,
ale uniká mi smysl samotného $B|A$ . Mohl bych se na to dívat jako na průnik $B \cap A$ . Potom by ovšem platilo
$P(A \cup B|A) = P(A \cup (B \cap A)) = P(A)$ ,
což se neshoduje s učebnicí. Beztak to nemůže být průnik, je to spíš určité zúžení, ale nevím, jak ho sečíst (sjednotit) s jevem A.

Ještě mě napadlo, že mysleli
$P((A \cup B)|A) = 1$ ,
s tím by určitě šlo souhlasit, ale závorku vynechat nelze.

Koukal jsem na Wiki a jinde, ale samotný výraz $B|A$ jsem našel pouze v nějakém dokumentu z FELu, kde bylo vysvětlení (na příkladu) poněkud zmatené a i tak nemohlo odůvodnit výše zmíněné tvrzení.

LukasM · 05. 04. 2013 17:51

↑ MirekH:
Já bych v tom viděl tu závorku. Vynechat ji lze, protože bez ní (jak jsi sám napsal) to nemá žádný smysl.

MirekH · 05. 04. 2013 18:06

↑ LukasM:
Chybějící závorka bude nejspíš nejjednodušší řešení. Navíc (pokud to správně chápu) vyžaduje výraz $A \cup B|A$ sjednocení částí z dvou různých pravděpodobnostních prostorů, což asi nepůjde.

Téma ještě nebudu uzavírat, třeba ještě někdo přispěje s jiným názorem.

martisek · 05. 04. 2013 18:20

↑ LukasM:

"uniká mi smysl samotného $B|A$ . Mohl bych se na to dívat jako na průnik $B \cap A$ ..."

To určitě ne. Vysvětlím na jednoduchém příkladě:

Jaká je pravděpodobnost, že na regulérní hrací kostce padlo sudé číslo, víme-li, že padlo číslo větší než tři.

Padlo sudé číslo - jev S
Padlo číslo větší než tři - jev T

P(S/T) můžu počítat v tomto případě jako klasickou pravděpodobnost: Jestliže padlo číslo větší než tři, pak možné výsledky jsou tři. Z toho příznivé výsledky jsou dva. Takže P(S/T)=2/3.

Počítáno podle vzorce pro podmíněnou pravděpodobnost:

P(S)=1/2; P(T)=1/2; P(S $\cap$ T) (padlo sudé a současně větší než tři) =1/3;

$P(S|T) =\frac { P(S \cap T) } { P(T) } = \frac {\frac 1 3} {\frac 1 2} = \frac 2 3$

MirekH · 05. 04. 2013 18:30 — Editoval MirekH (05. 04. 2013 18:30)

↑ martisek:
Ale vždyť ano, já chápu, co je podmíněná pravděpodobnost - proto jsem taky do úvodního příspěvku psal ten vztah, aby bylo jasné, že s tím problém nemám. A taky jsem napsal:

MirekH napsal(a):
Beztak to nemůže být průnik, je to spíš určité zúžení ...

Nicméně pokud byste mi dokázal nějak stručně vysvětlit, co si mám představit pod jevem $B|A$ (ne $P(B|A)$ ), byl bych moc rád.

Arabela · 05. 04. 2013 18:46

Ahoj ↑ MirekH:,
aj ja si myslím, že ide iba o tie "chýbajúce" zátvorky. Ony tam vlastne nechýbajú, lebo ten symbol P(A/B) znamená pravdepodobnosť javu, ktorý je pred lomítkom za predpokladu, že nastal jav, ktorý je za lomítkom. No a pred lomítkom môže byť jav vyjadrený aj zložitejším spôsobom...

MirekH · 05. 04. 2013 19:04

↑ Arabela:
Jestli ten rozdělovník "|" funguje tak, jak píšeš, tak pak je problém vyřešen. Jenom se ještě pro jistotu zeptám - je pravda, že $P(A \cup (B|A))$ je (na rozdíl od $P((A \cup B)|A)$ ) matematický nesmysl?

Arabela · 05. 04. 2013 19:12

↑ MirekH:
je to proste niečo, čo nebolo definované

martisek

↑ MirekH:

To $B|A$ je opravdu jakési zúžení jevu, přesněji řečeno jeho jevového pole. Jestliže hážu kostkou, je možných šest výsledků a jevové pole je

$\Omega =\{1;2;3;4;5;6\}$

Jev "padne sudé číslo", tj. $A =\{ 2;4;6\}$ pak můžu chápat jako jev podmíněný skutečností, že mohu očekávat všechny možné výsledky $\Omega$ , tj. $A | \Omega$

A teď někdo řekne, že jednička, dvojka a trojka se nepočítá. Pokud padne, pokus je neplatný a opakuje se. Možné výsledky jsou pak jenom B = {4;5;6} a očekávám-li za této situace sudé číslo, očekávám jev A|B.

MirekH · 05. 04. 2013 19:45

↑ martisek:
A hledat pravděpodobnost sjednocení dvou jevů, z nichž jeden je z původního jevového pole a druhý z toho zúženého, asi nelze, že?

martisek · 05. 04. 2013 21:00

↑ MirekH:

Asi ano - množinové operace lze provádět jen s jevy, které jsou podmnožinami téhož jevového pole, což A a B|A nejsou.

MirekH · 05. 04. 2013 22:24

Děkuji všem za odpovědi, označuji téma za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2013 17:47

Podmíněná pravděpodobnost

#2 05. 04. 2013 17:51

Re: Podmíněná pravděpodobnost

#3 05. 04. 2013 18:06

Re: Podmíněná pravděpodobnost

#4 05. 04. 2013 18:20

Re: Podmíněná pravděpodobnost

#5 05. 04. 2013 18:30 — Editoval MirekH (05. 04. 2013 18:30)

Re: Podmíněná pravděpodobnost

MirekH napsal(a):

#6 05. 04. 2013 18:46

Re: Podmíněná pravděpodobnost

#7 05. 04. 2013 19:04

Re: Podmíněná pravděpodobnost

#8 05. 04. 2013 19:12

Re: Podmíněná pravděpodobnost

#9 05. 04. 2013 19:31 — Editoval martisek (05. 04. 2013 19:32)

Re: Podmíněná pravděpodobnost

#10 05. 04. 2013 19:45

Re: Podmíněná pravděpodobnost

#11 05. 04. 2013 21:00

Re: Podmíněná pravděpodobnost

#12 05. 04. 2013 22:24

Re: Podmíněná pravděpodobnost

Zápatí