Matematické Fórum

Google · 06. 04. 2013 20:16

Ahoj, řeším tento integrál $\int_{0}^{\pi /2}\frac{1-sinx}{1+cosx}dx$ .

Provedl jsem tuto SUBSTITUCI: $t=tg\frac{x}{2}$

Pak $t^2=tg^2\frac{x}{2}=\frac{sin^2\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}$

Z toho potom: $sin^2\frac{x}{2}=\frac{t^2}{1+t^2}$ a $cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{1+t^2}$

Jak z těchto posledních úprav dostanu $cosx$ a $sinx$ abych to mohl dosadit do integrálu? Díky

MirekH · 06. 04. 2013 20:30

Využij vzorce pro poloviční úhel
$\sin^2(x/2) = \frac{1 - \cos x}{2},$
$\cos^2(x/2) = \frac{1 + \cos x}{2}.$

Arabela · 06. 04. 2013 20:38

Ahoj ↑ Google:,
ja by som použila vzorce $\sin x=\frac{2\text{tg}\frac{x}{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{x}{2}}$
$\cos x=\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{x}{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{x}{2}}$
Odtiaľ
$1-\sin x=...=\frac{1-2\text{tg}\frac{x}{2}+\text{tg}^{2}\frac{x}{2}}{1+\text{tg}^{2}\frac{x}{2}}$
$1+\cos x=...=\frac{2}{1+\text{tg}^{2}\frac{x}{2}}$
Potom
$\int_{}^{}\frac{1-\sin x}{1+\cos x}dx=\frac{1}{2}\int_{}^{}(1-2\text{tg}\frac{x}{2}+\text{tg}^{2}\frac{x}{2})dx$
Toto by sa už malo dať zintegrovať...

cyrano52 · 06. 04. 2013 20:44

↑ Google:

Ahoj, není lepší rozšířit celý zlomek jmenovatelem? Poté dostaneš ve jmenovateli $\sin ^{2}x$ , tzn. že můžeš celý zlomek rozložit na jednotlivé sčítance a poté je snadné je zintegrovat. :)

Google · 06. 04. 2013 20:48

↑ Arabela:jj, diky.

Google · 06. 04. 2013 20:48

↑ cyrano52:taky dobry napad. Dik

Matematické Fórum

#1 06. 04. 2013 20:16

Určitý integrál - uprava pro substituci

#2 06. 04. 2013 20:30

Re: Určitý integrál - uprava pro substituci

#3 06. 04. 2013 20:38

Re: Určitý integrál - uprava pro substituci

#4 06. 04. 2013 20:44

Re: Určitý integrál - uprava pro substituci

#5 06. 04. 2013 20:48

Re: Určitý integrál - uprava pro substituci

#6 06. 04. 2013 20:48

Re: Určitý integrál - uprava pro substituci

Zápatí