Matematické Fórum

Filla.x · 01. 04. 2013 11:55

Dobrý den,
potřeboval bych pomoci s pár integrály. Zkoušel jsem je počítat, ale nejsem si jistý zda-li jsou dobře, ale pochybuji :D .

1.

$\int_{}^{}\frac{dx}{x^{2}-4x+12}=lnx^{2}-ln4x+\frac{1}{12}x$

2.

$\int_{}^{}\frac{x}{(x^{2}+2x+2)(x^{2}+2x-3)}dx=lnx^{3}-ln4x^{2}+ln3x-\frac{1}{2}x-\frac{x^{2}}{12}$

3.

$\int_{}^{}x\sqrt{2x-8}dx=\frac{4(2x-8)^{4}+48(2x-8)^{2}}{48} ...$

4.
S tímto, si nevím rady...

$\int_{}^{}e^{\sqrt{x}}dx=\int_{}^{}e^{t}\cdot 2t dt ...?$

5.

$\int_{1}^{3}\frac{dx}{\sqrt[3]{1-3x}}=\frac{45-9\sqrt{7}}{2}$

Děkuji

jarrro · 01. 04. 2013 12:42

1) $x^2-4x+12=$x-2$^2+8$
2) $\frac{x}{$x^{2}+2x+2$$x^{2}+2x-3$}=\frac{a$2x+1$+b}{x^2+2x+2}+\frac{c}{x+3}+\frac{d}{x-1}$
3) $2x-8=t^2\nl 2\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t\nl x\sqrt{2x-8}\mathrm{d}x=\frac{t^2$t^2+8$}{2}\mathrm{d}t$
4) $\int{t\mathrm{e}^t\mathrm{d}t}=t\mathrm{e}^t-\int{\mathrm{e}^t\mathrm{d}t}=\mathrm{e}^t$t-1$+C$
5) $\int{\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{1-3x}}}=-\frac{$1-3x$^{\frac{2}{3}}}{2}+C$

Filla.x · 06. 04. 2013 19:55

No, tak jsem se k tomu dostal až teď a znova jsem to počítal. Může to tak být ?

1. $\int_{}^{}\frac{dx}{x^{2}-4x+12}=\frac{1}{\sqrt{8}}artg\frac{x-2}{\sqrt{8}}+c$

Parciální zlomek II. typu - doplnění na čtverec - vztah (arctg x/a)1/a

2. $\int_{}^{}\frac{x}{(x^{2}+2x+2)(x^{2}+2x-3)}dx=\int_{}^{}\frac{x}{((x+\frac{1}{2})^{2}(x-1)(x+3)}dx=\frac{A}{(x+\frac{1}{2})^{2}}+\frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{(x+3)}$

$=\frac{8}{105}(arctg\frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{7}{4}})+\frac{1}{8}ln|x-1|+\frac{3}{32}ln|x+3| + c$

Použité věci jako příklad 1.

3. $\int_{}^{}x\sqrt{2x-8}dx=\frac{x}{\sqrt{2x-8}}-2\sqrt{2x-8}+c$

Zkoušel jsem ho metodou per partes.

4. $\int_{}^{}e^{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}-2e^{\sqrt{x}}+c$

Pomocí substituce a následně per partes.

5. $\int_{1}^{3}\frac{dx}{\sqrt[3]{1-3x}}=\frac{-12+3\sqrt[3]{2}}{2}$

A ještě si nevím rady s příkladem: Určete obsah plochy ohraničené křivkami $y=e^{x}, y=e^{-x}, x=1$

jarrro · 06. 04. 2013 21:58 — Editoval jarrro (07. 04. 2013 10:22)

1.OK
2. $\frac{x}{$x^{2}+2x+2$$x^{2}+2x-3$}=\frac{a$2x+2$+b}{x^2+2x+2}+\frac{c}{x+3}+\frac{d}{x-1}$
teda
$\int{\frac{x}{$x^{2}+2x+2$$x^{2}+2x-3$}\mathrm{d}x}=a\ln{$x^2+2x+2$}+b\mathrm{arctg}{$x+1$}+c\ln{$x+3$}+d\ln{$x-1$}+C$
3. $2x-8=t^2\nl 2\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t\nl x\sqrt{2x-8}\mathrm{d}x=\frac{t^2$t^2+8$}{2}\mathrm{d}t\nl\int{x\sqrt{2x-8}\mathrm{d}x}=\int{\frac{t^2$t^2+8$}{2}\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}$\frac{t^5}{5}+\frac{8t^3}{3}$+C=\frac{3$\sqrt{2x-8}$^5+40$\sqrt{2x-8}$^3+C}{30}$
4.OK
5. $\[-\frac{$1-3x$^{\frac{2}{3}}}{2}\]_{1}^3=-2+2^{-\frac{1}{3}}$

Filla.x · 07. 04. 2013 10:07

↑ jarrro:

Dík ;) ale pořád nemůžu přijít na tu dvojku .. u těch parciálních zlomků, nevím jak se dopočítat k tomu A, B. A kde se vzal člen x+1 :/

jarrro · 07. 04. 2013 10:25

↑ Filla.x:má tam byť samozrejme
$\frac{x}{$x^{2}+2x+2$$x^{2}+2x-3$}=\frac{a$2x+\color{red}2\color{black}$+b}{x^2+2x+2}+\frac{c}{x+3}+\frac{d}{x-1}$
som sa pomýlil,ale na výsledku to nič nemení x+1 je tam preto, lebo
$x^2+2x+2=$x+1$^2+1$

Fero132 · 07. 04. 2013 10:33

Pokud se mohu i já přidat do diskuze a zeptat se jak jste došli u dvojky po substituci že 2x - 8 = $t^{2}$
a poté jste dostali $t^{2}(t^{2}+8)/2$ jak se došlo k tomu $(t^{2}+8)$

a u 5. příkladu kde se ve jmenovateli nalezla -2?

Filla.x

↑ Fero132:

3) ... z té substituce $2x-8 = t^{2}$ si vyjádříš x $x=\frac{t^{2}+8}{2}$ potom $dx=tdt$ a všechno si dosadíš :)

teda jestli myslíš 3ku

5) to nevím, protože po integraci podle mě, by to mělo být takto : $\frac{(1-3x)^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}$ takže nevím proč 2 a proč - ... i když teďka přemýšlím, jestli to vůbec můžu takto jednoduše integrovat .....

jarrro · 07. 04. 2013 11:32

5. ešte treba deliť mínus trojkou kvôli koeficientu pri x
$\frac{\quad\frac{(1-3x)^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}\quad}{-3}=-\frac{$1-3x$^{\frac{2}{3}}}{2}$

Filla.x · 07. 04. 2013 11:52

↑ jarrro:

Tak o tom sem snad ještě nikdy neslyšel :o. Dík ;)

Matematické Fórum

#1 01. 04. 2013 11:55

Integrály

#2 01. 04. 2013 12:42

Re: Integrály

#3 06. 04. 2013 19:55

Re: Integrály

#4 06. 04. 2013 21:58 — Editoval jarrro (07. 04. 2013 10:22)

Re: Integrály

#5 07. 04. 2013 10:07

Re: Integrály

#6 07. 04. 2013 10:25

Re: Integrály

#7 07. 04. 2013 10:33

Re: Integrály

#8 07. 04. 2013 10:42 — Editoval Filla.x (07. 04. 2013 10:58)

Re: Integrály

#9 07. 04. 2013 11:32

Re: Integrály

#10 07. 04. 2013 11:52

Re: Integrály

Zápatí