Matematické Fórum

cutrongxoay · 06. 04. 2013 18:15

Zdravim,

chtel bych se jeste zeptat na jednu vec, jakym zpusobem mam pocitat tenhle integral?
$\int_{}^{}ln(x^2+1)dx$

V tomhle priklade nejak ten soucinovy tvar nevidim, abych mohl provest per partes.
Diky za veskerou radu.

Hanis · 06. 04. 2013 18:22

Ahoj,
je to tam :
$\int_{}^{}1\cdot ln(x^2+1)dx$

jedničku integruj, logaritmus derivuj.

cutrongxoay

tak dopracoval jsem se sem
$\int_{}^{}ln(x^2+1)dx=x*ln(x^2+1)-\int\frac{2x^2}{x^2+1}dx=?$

Nevim jak dale, problemem je, ze neumim rozklad na parcialni zlomky, vubec nevim jak se k tomu dopracuji a navic ve vysledku jeste nejaky arctangens...

cyrano52 · 07. 04. 2013 15:19

↑ cutrongxoay:

Ahoj, zkus první dělení mnohočlenem, vyjde ti:

$1-\frac{1}{x^{2}+1}$

Zlomek lze integrovat pomocí vzorce:

$\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}+1}dx=arc\text{tg}x+c$

byk7 · 07. 04. 2013 15:21

↑ cutrongxoay:

Rozklad na parciální zlomky by ses měl doučit, ale tady to není ani nějak třeba
$\frac{2x^2}{x^2+1}=\frac{$2x^2+2$-2}{x^2+1}=\frac{2$x^2+1$-2}{x^2+1}=2-\frac{2}{x^2+1}$
potom
$I:&=\int\ln$x^2+1$\d x=x\ln$x^2+1$-\int\frac{2x^2}{x^2+1}\d x=x\ln$x^2+1$-2\int\d x+2\int\frac{1}{x^2+1}\d x= \\ &=x\ln$x^2+1$-2x+2\arctan(x)+C=x\ln$\frac{x^2+1}{\text{e}^2}$+2\arctan(x)+C$

přičemž poslední úprava není nutná

cutrongxoay · 07. 04. 2013 16:35

Jak tu projizdim, tak zjistuji, ze je potreba se doucit par vzorcu, ktere jsem doposud neznal.
Predtim jsem misto rozkladu zkousel pres primitivni funkci, ale podle toho vysledku to nevypadal na spravny postup.
Je pravda, ze jsme takove priklady jeste nebrali ( a doufam ze budem brat ) , je to jen samostudium, nahodne jsem narazil na tenhle priklad, tak me to zajimalo.

Matematické Fórum

#1 06. 04. 2013 18:15

integral logaritmu

#2 06. 04. 2013 18:22

Re: integral logaritmu

#3 07. 04. 2013 15:04 — Editoval cutrongxoay (07. 04. 2013 15:12)

Re: integral logaritmu

#4 07. 04. 2013 15:19

Re: integral logaritmu

#5 07. 04. 2013 15:21

Re: integral logaritmu

#6 07. 04. 2013 16:35

Re: integral logaritmu

Zápatí