Matematické Fórum

Marsis · 07. 04. 2013 16:28

Dobrý den, chtěla bych poprosit o radu ohledně podmínky u jedné logaritmické rovnice:
$\frac{5}{3-logx} = 3log10 - \frac{log10}{1+logx}$

Výsledek mi vyšel x=10 a x= $10^{\frac{-1}{3}}$

Moc děkuji za odpověď.

MirekH · 07. 04. 2013 16:51 — Editoval MirekH (07. 04. 2013 16:51)

Ve jmenovatelích nesmí být nula a číslo v logaritmu musí být kladné. Takže jednak $x > 0$ a dále $\log x \neq 3 \Rightarrow x \neq 1000$ , $\log x \neq -1 \Rightarrow x \neq 1/10$ . Obě řešení podmínkám vyhovují.

Marsis · 07. 04. 2013 16:53

Ahá, už je mi to jasný :) Moc děkuju

kadedemon · 08. 04. 2013 07:43

↑ Marsis:

Já bych měl dotaz, já jsem si tu rovnci zkoušel taky spočítat a víjde mi x = 6 v čem dělám chybu?
Nemohli by jste tu někdo napsat řešení tohoto příkladu prosím?

Cheop · 08. 04. 2013 08:06 — Editoval Cheop (08. 04. 2013 08:08)

↑ kadedemon:
$\frac{5}{3-\log\,x}=3\log\,10-\frac{\log\,10}{1+\log\,x}\\\frac{5}{3-\log\,x}=3-\frac{1}{1+\log\,x}\\\frac{5}{3-\log\,x}+\frac{1}{1+\log\,x}=3\\5+5\log\,x+3-\log\,x=(9-3\log\,x)(1+\log\,x)\\8+4\log\,x=9+9\log\,x-3\log\,x-3\log^2\,x\\3\log^2\,x-2\log\,x-1=0$
Substituce:
$\log\,x=t$
Řešíme kvadratickou rovnici:
$3t^2-2t-1=0\\t_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{6}\\t_1=1\\t_2=-\frac 13$
Vratka k substituci:
$\log\,x=t\\\log\,x=1\\\log\,x=\log\,10\\x_1=10$
$\log\,x=t\\\log\,x=-\frac 13\\\log\,x=\log\,10^{-\frac 13}\\x_2=10^{-\frac 13}$
Řešení:
$x_1=10\\x_2=10^{-\frac 13}$

Poznámka:
$\log\,10=1$