Matematické Fórum

jelena · 07. 04. 2013 17:30

↑↑ mar92:

extrém (bod podezřelý z extrému, zjištěný pomocí 1. derivace) můžeš ověřovat pomocí změny znamének derivace při přechodu přes bod, nebo pomocí 2. derivace. V tomto zadání bych raději volila 2. derivaci.

Samotná úloha nepožaduje zjištění, zda je funkce rostoucí klesající.

Jinak k celé úloze úloze - u každé úpravy pozorně poznamenej podmínky úprav, jelikož máš parametry v zadání. Také samostatně poznamenej, pokud bod A leží na kružnici.

no ja bych rekla ze by to mela byt ta zaporna,ale jiste to nevim.

$r$ je číslo kladné, $a$ dle zadání je záporné, my potřebujeme, aby bod byl ve III. kvadrantu (tak?), tak které znaménko výsledku vybereme?

mar92 · 07. 04. 2013 17:45

takze kladnou:)

jelena · 07. 04. 2013 18:12

↑ mar92:

:-) tak jsme se úspěšně dohrabalY k výsledku kolegy ↑↑ martisek:. Kolega Lukáš M. nás varoval, že to bude cesta nesnadná.

Rozumíš, prosím, všemu? Jinak, pokud rozumíš i postupům bez derivací, tak to do práce také doplň.

mar92 · 07. 04. 2013 19:26

jen teda abych si to ujasnila.V zadani mam nalezt nejmensi velikost,takze potrebuji lokalni minimum najit a to muzu udelat pomoci druhe derivace,takhle to muzu do prace napsat?protoze co jsem se divala do vzorovych praci tak tam meli vypsany intervali a zjistovali kde je fce rostouci a kde klesajici a z tabulky pak vycetli kde je lok.minimum a kde maximum.Tak doufam ze bude stacit jen pomoci te druhe derivace.:)jinak moc dekuji za vsechny rady

jelena · 07. 04. 2013 21:38 — Editoval jelena (07. 04. 2013 22:53)

↑ mar92:

Není za co :-) Podívej se ještě do materiálů na způsoby ověřování, zda v bodě podezřelém z extrému, je skutečně extrém.

1. derivace je: $f^{\prime}(x)=\frac{2bx-2a\sqrt{r^2-x^2}}{\sqrt{r^2-x^2}}$

intervaly máme
$\langle-r, \frac{ar}{\sqrt{b^2+a^2}})$ ,
$$\frac{ar}{\sqrt{b^2+a^2}}, -\frac{ar}{\sqrt{b^2+a^2}}$$ ,
$(-\frac{ar}{\sqrt{b^2+a^2}}, +r \rangle$

A víš, že Tebou nalezené body podezřelé z extrému jsou nalevo a napravo od středu kružnice. Tedy pro ověření znaménka prostředního intervalu to je jednoduché - použiješ pro dosazování do 1. derivace $x=0$ . Pro "interval nalevo" bych ještě od kořene odečetla 1, pro "interval napravo" bych ke kořenu 1 přečetla. Jde o to, abys dokázala posoudit jen znaménko - pokud přes intervaly.

Ale posuzování znaménka 2. derivace přímo v bodech podezřelých z extrému mi přijde pohodlnější.

mar92 · 07. 04. 2013 22:35 — Editoval jelena (07. 04. 2013 22:49)

pohodlnejsi to urcite bude ale 2.derivace je $\frac{2br^2}{(r^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}$ a kdyz za x dosadim stacionarni body + i - tak me vyjde u obou zaporne cislo a z toho vyplývá ze u obou jsou maxima a ja potrebuji minimum

jelena · 07. 04. 2013 22:54

↑ mar92:

na 2. derivaci se budu snažit do půlnoci podívat. Jen upozorňuji, že jsem opravila intervaly ↑ jelena:, zapomněla jsem, že x má ležet na kružnici, tedy def. obor x je omezen na -r až +r.

Opět jsem opravovala zápis derivace - souhlasí? Děkuji.

mar92 · 07. 04. 2013 22:55

a kdyz sem to pocitala s tema intervalama tak v 1.intervalu i ve 2. je fce kladna a v 3.intervalu zaporna,takze zadne lokalni minimum tam nemam,znam jen maximum :(

jelena · 08. 04. 2013 00:08

↑ mar92:

s druhou derivaci - také pořád vidím, že je záporná (přesně znaménko má podle parametru b), teď nevím, jak z toho. V bodě, kde je maximum vzdálenosti, 2. derivace je záporná, což v pořádku.

A pomocí intervalu:

jelikož máme omezení def. oboru pro x na <-r, +r>, potom pro interval: $\langle-r, \frac{ar}{\sqrt{b^2+a^2}})$ dosadím číslo "trošku větší", než $-r$ , na číselné ose od -r napravo, potom odmocniny v 1. derivaci se skoro vynuluji a 1. derivace má znaménko +,
pro $x=0$ (pro prostřední interval) také +, jen pro "pravý interval" $(-\frac{ar}{\sqrt{b^2+a^2}}, +r \rangle$ má 1. derivace znaménko minus.

Tak opět máme v nejvzdálenějším bodě potvrzeno maximum, ale nezachytili jsme minimum. Aktuálně nevím, kde je chyba v úvaze. Zítra jsem do večera mimo dosah, tak snad dojdou kolegové s nápadem.

jelena · 08. 04. 2013 00:49

Asi jsem našla, kde je problém.

Když jsme sestavovali funkci pro vzdálenost: $f(x)=\sqrt{(a-x)^2+(b-\sqrt{r^2-x^2})^2}$ , tak y-souřadnice byla uvažována jako $y=\sqrt{r^2-x^2}$ . Ovšem jednomu x přísluší 2 y:
$y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$ . A jelikož jsme měli záměr mít bod na kružnici v III. kvadrantu, tak jsme měli zvolit $y=-\sqrt{r^2-x^2}$ .

A vzorec pro vzdálenost: $f(x)=\sqrt{(a-x)^2+(b-(-\sqrt{r^2-x^2}))^2}$ . Úplně korektně by bylo řešit s $y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$ a až na závěr diskutovat vztah s bodem A, který dle zadání musí být v III. kvadrantu.

Alespoň doufám, že v tom byla potíž. Děkuji za kritiku.

mar92 · 08. 04. 2013 14:11

tak dneska sem se dozvedela, ze prej by to mohlo byt jednodusi pres parametricke vyjadreni kruznice.Takze bod X by mel mit souradnice $(x,r\cdot sin(t))$ takze funkce mi vychazi $\sqrt{(x-a)^2+(r\cdot sin(t)-b)^2}$ jenze po derivaci vyjde $2(x-a)$ coz se mi zda divny

martisek

↑ mar92:

V tom případě je ovšem pro bod na kružnici

$X=[r\cos t; r\sin t]$

a hledáme minimum funkce

$f(t)=(a-r\cos t)^2+(b-r\sin t)^2=a^2+b^2-2(a+b)r(\sin t +\cos t) +r^2$

Matematické Fórum

#26 07. 04. 2013 17:30

Re: vzdalenost bodu od kruznice

#27 07. 04. 2013 17:45

Re: vzdalenost bodu od kruznice

#28 07. 04. 2013 18:12

Re: vzdalenost bodu od kruznice

#29 07. 04. 2013 19:26

Re: vzdalenost bodu od kruznice

#30 07. 04. 2013 21:38 — Editoval jelena (07. 04. 2013 22:53)

Re: vzdalenost bodu od kruznice

#31 07. 04. 2013 22:35 — Editoval jelena (07. 04. 2013 22:49)

Re: vzdalenost bodu od kruznice

#32 07. 04. 2013 22:54

Re: vzdalenost bodu od kruznice

#33 07. 04. 2013 22:55

Re: vzdalenost bodu od kruznice

#34 08. 04. 2013 00:08

Re: vzdalenost bodu od kruznice

#35 08. 04. 2013 00:49

Re: vzdalenost bodu od kruznice

#36 08. 04. 2013 14:11

Re: vzdalenost bodu od kruznice

#37 08. 04. 2013 16:03 — Editoval martisek (08. 04. 2013 16:04)

Re: vzdalenost bodu od kruznice

Zápatí