Matematické Fórum

Matytus

Dobrý den, mohl by někdo, prosím, poradit jak by se řešil tento příklad?Předpokládejme, že přímka y = 2x +c protíná elipsu $4x^2 + 9y^2 =36$ ve dvou bodech(je tedy sečnou).Ukažte, že střed této dvojice průsečíků leží na přímce 2x+9y=0. Napadlo mne dosadit do rovnice elipsy za y dosadit 2x +c.Vyšlo mi v jakém intervalu leží c,ale dál už nevím, jak postupovat.

marnes · 08. 04. 2013 11:45

↑ Matytus:
1) najít společné body
2) střed těchto bodů
3) dosadit do rovnice přímky 2x+9y=0.

Matytus · 08. 04. 2013 12:06

Čili klasicky dostadit $y=2x+c$ do rovnice elipsy, pak vypočítat $x_{1,2}$ (tuto rovnici $40x^{2}+36cx+9c^2-36=0$ ) a poté dopočíst souřádnice pro y?A pak tedy postupovat podle dvou dalších kroků.Bude to tak?

Cheop · 08. 04. 2013 12:30 — Editoval Cheop (08. 04. 2013 12:33)

↑ Matytus:
Ano když tuto rovnici $40x^{2}+36cx+9c^2-36=0$ vyřešíš a dopočteš y-ové souřadnice
dostaneš průsečíky.
Pak uděláš jejich střed.
Souřadnice středu by ti měly vyjít:
$S=\left(-\frac {9c}{20};\,\frac{c}{10}\right)$
A tento střed leží na přímce $2x+9y=0$
Ještě bychom mohli určit c tak, aby to byla sečna - to by mělo vyjít:
$|c|\,<\,2\sqrt{10}$

Matytus

↑ Cheop:
Ano, to jsem si určil prvně, že $c\in (-2\sqrt{10};2\sqrt{10})$ .Děkuji Vám obou za radu ;-)

kadedemon · 08. 04. 2013 13:02

↑ Matytus:

Nemohl bys mi tu napsat to dosazení do rovnice elipsy? abych si ověřil jestli to správně počítam.
Předem díky za pomoc

Matytus

↑ kadedemon:
Určitě. $4x^{2} +9(2x+c)^{2}=36$ .A pak po úpravách (dát závorku na druhou podle vzorce $(a+b)^2$ a poté jen roznásobit devíti a vše,co k sobě patří posčítat ;-) ) výjde tento tvar: $40x^{2}+36cx+9c^2-36=0$

kadedemon · 08. 04. 2013 14:11

↑ Matytus:

Ajo už to chápu díky moc

Matematické Fórum

#1 08. 04. 2013 10:46 — Editoval Matytus (08. 04. 2013 10:46)

Sečna

#2 08. 04. 2013 11:45

Re: Sečna

#3 08. 04. 2013 12:06

Re: Sečna

#4 08. 04. 2013 12:30 — Editoval Cheop (08. 04. 2013 12:33)

Re: Sečna

#5 08. 04. 2013 12:45 — Editoval Matytus (08. 04. 2013 12:49)

Re: Sečna

#6 08. 04. 2013 13:02

Re: Sečna

#7 08. 04. 2013 13:21 — Editoval Matytus (08. 04. 2013 13:27)

Re: Sečna

#8 08. 04. 2013 13:25 Příspěvek uživatele Matytus byl skryt uživatelem Matytus. Důvod: Předchozí komentář

#9 08. 04. 2013 14:11

Re: Sečna

Zápatí