Matematické Fórum

Keeeeke

Ahoj,
kvádr ABCDEFGH má rozměry a,b,c. Urči povrch osmistěnu BCDEFH.

Můj nápad: v horní a dolní stěně jsou trojuhelníky, které když spojím, tak dostanu obdelník. To samé je v přední a zadní stěně a obou bočních. Takže komplikace je pouze se dvěma stěnami...

Ty když také spojím dohromady, dostanu obdelník a stranách $\sqrt{a^2+b^2}$ a $\sqrt{b^2+c^2}$

Takže povrch osmistěnu je $P=a\cdot b+b\cdot c+a\cdot c + \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{c^2+b^2}$

To je celé, je to OK?

Arabela · 08. 04. 2013 14:32

Ahoj ↑ Keeeeke:,
predstaviť si to teleso je trochu náročnejšie na predstavivosť. Ale keď si ten kváder trochu natočíme, snáď je to aj vidieť. Vzniknutý osemsten má 8 stien, 6 vrcholov a 12 hrán. Všetky steny sú pravouhlými trojuholníkmi. Vždy dve a dve steny majú rovnaký obsah. Obsah steny CFH (ako aj steny BDE) je $\sqrt{a^{2}+b^{2}}.\sqrt{b^{2}+c^{2}}$ .
Takže výsledok by mal byť
$P=a.b+a.c+b.c+\sqrt{a^{2}+b^{2}}.\sqrt{b^{2}+c^{2}}$

MirekH · 08. 04. 2013 15:20

↑ Keeeeke:,↑ Arabela:
A opravdu tam vznike obdélník? Zjevně platí
$|BD| = \sqrt{a^2 + b^2}$
$|BE| = \sqrt{a^2 + c^2}$
$|DE| = \sqrt{b^2 + c^2}$
a pokud by BDE (CFH) měl být pravoúhlý trojúhelník, tak pro $a > b > c$ máme z Pythagorovy věty
$(b^2 + c^2) + (a^2 + c^2) = (a^2 + b^2)$
$2c^2 = 0$ .
Přijde mi, že trojúhelníky BED a CFH utvářejí dohromady kosodélník, jehož obsah jsem musel spočítat z cosinové věty, takže celkově
$S =ab + ac + bc + \sqrt{a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2}$ .

Keeeeke · 08. 04. 2013 20:02

↑ MirekH:
Tak ted nevim kde je pravda... :-(

Arabela · 08. 04. 2013 20:04

↑ Keeeeke:
MirekH má pravdu, tie dve trojuholníkové steny nie sú pravouhlé.

Keeeeke · 08. 04. 2013 21:13

↑ MirekH:
Jak jsi prosím počítal obsah toho kosodelníka (potřebuji výšku a tu neznám)? Z cosinove vety? Nedokazu si to nejak spojit....

MirekH · 08. 04. 2013 21:42 — Editoval MirekH (08. 04. 2013 21:44)

Obsah kosodélníku se obecně spočítá jako $S = kl \sin \alpha$ , kde $\alpha$ je menší z vnitřních úhlů a $k, l$ strany. Jelikož známe všechny strany trojúhelníku BDE (ta nejdelší z nich je úhlopříčka kosodélníku $u_1$ ), můžeme určit
$\cos \alpha = \frac{k^2 + l^2 - u_1^2}{2kl}$ ,
po dosazení pomocí a,b,c by mělo vyjít
$\cos \alpha = \frac{c^2}{\sqrt{(a^2 + c^2)(b^2 + c^2)}}$ .
Když si vyjádříme
$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$
dosadíme za kosinus a vynásobíme $kl$ , tedy $\sqrt{(a^2 + c^2)(b^2 + c^2)}$ , dostaneme
$S = \sqrt{1 - \frac{c^4}{(a^2 + c^2)(b^2 + c^2)}} \cdot \sqrt{(a^2 + c^2)(b^2 + c^2)} = \sqrt{a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2}$ .

Arabela · 08. 04. 2013 21:44

↑ Keeeeke:
Myslím, že kolega MirekH to robil nejako takto:
Kosínusová veta:
$a^{2}+c^{2}=a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}-2\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sqrt{b^{2}}cos \varphi$
Odtiaľ vyjadriť cos fí, a podľa
$\sin ^{2}\varphi =1-\cos ^{2}\varphi$
vypočítať sin fí:
$\sin \varphi =\frac{\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sqrt{b^{2}+c^{2}}}$
Použiť vzorec pre obsah trojuholníka daného dvomi stranami a uhlom nimi zovretým
$S_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sqrt{b^{2}+c^{2}}.\frac{\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sqrt{b^{2}+c^{2}}}$
čo po vykrátení a vynásobením dvomi (dva zhodné trojuholníky) dá uvádzanú hodnotu.