Matematické Fórum

Choosen · 08. 04. 2013 14:52

Dobrý den
Máme vyřešit integrál
$\int_{-1}^{3}\frac{1}{x-2}\text{dx}$

S tímto příkladem si nevím rady.

Postupoval jsem následovně:
1, Newtonova definice vyžaduje spojitost funkce na intervalu $<-1,3>$ , ale mám zde bod nespojitosti $x=2$ . Problém.
2, Obrátil jsem se na "zobecněný Newtonův integrál" a upravil jej na tvar
$\int_{-1}^{2}\frac{1}{x-2}\text{dx} + \int_{2}^{3}\frac{1}{x-2}\text{dx}$
primitivní funkce vycházi $F(x)=\ln (x-2)$ což mi také nepomohlo

Jak tento integrál řešit? Riemanovou definicí?

Nevím si rady

LukasM · 08. 04. 2013 15:26

↑ Choosen:
Definice jsem sice dávno zapomněl, ale když si to představím, tak integrály $\int_{1}^{2}\frac{1}{x-2}\text{dx} + \int_{2}^{3}\frac{1}{x-2}\text{dx}$ se musí sečíst na nulu. Podle mně by neměl být problém jeden z nich upravovat tak dlouho, až vyjde ten druhý se záporným znaménkem.

Asi nějak takhle:
$\int_{1}^{2}\frac{1}{x-2}\text{dx} + \int_{2}^{3}\frac{1}{x-2}\text{dx}=\int_{-1}^{0}\frac{1}{x}\text{dx} + \int_{0}^{1}\frac{1}{x}\text{dx}$

A druhý integrál $\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\text{dx}=- \int_{1}^{0}\frac{1}{x}\text{dx}=\int_{-1}^{0}\frac{1}{-x}\text{dx}=-\int_{-1}^{0}\frac{1}{x}\text{dx}$ (nejdřív jsem prohodil meze a pak udělal substituci za -x). Teď už stačí využít aditivitu v mezích a je vidět, že je to nula.
Komu stačí obrázek a obsah plochy pod křivkou, ten si jen představí hyperbolu a nic upravovat nemusí.

Samozřejmě korektně to obhájit a diskutovat existenci integrálu apod. bude složitější, a já ti s tím neporadím.

Jj · 08. 04. 2013 16:01

↑ Choosen:

Podle Wolframu není integrál není konvergentní, může existovat ve smyslu hlavní hodnoty (V.P.).

Viz:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … om+-1+to+3

http://cs.wikipedia.org/wiki/Hlavn%C3%A … gr%C3%A1lu

martisek · 08. 04. 2013 16:11

↑ Jj:]

Integrál neexistuje, protože

$\int_{-1}^3\frac 1{x-2}\text{dx}=\int_{-1}^2\frac 1 {x-2}\text{dx}+\int_2^3\frac 1 {x-2}\text{dx}=\lim_{a \to 2 -} \int_{-1}^a\frac 1 {x-2}\text{dx}+\lim_{b \to 2 +} \int_b^3\frac 1 {x-2}\text{dx} = -\infty +\infty$

LukasM · 08. 04. 2013 17:17

↑ Jj:, ↑ martisek:
Ano, teď už si vzpomínám. Integrál neexistuje, postup co jsem popsal já je způsob jak přijít na tu hodnotu ve smyslu VP. Tak doufám že jsem nikoho moc nezmátl, jako nematematik už ty definice nemám moc v paži. Díky za uvedení na pravou míru.

Matematické Fórum

#1 08. 04. 2013 14:52

Výpočet určitého integrálu nespojité funkce

#2 08. 04. 2013 15:26

Re: Výpočet určitého integrálu nespojité funkce

#3 08. 04. 2013 16:01

Re: Výpočet určitého integrálu nespojité funkce

#4 08. 04. 2013 16:11

Re: Výpočet určitého integrálu nespojité funkce

#5 08. 04. 2013 17:17

Re: Výpočet určitého integrálu nespojité funkce

Zápatí