Matematické Fórum

Filla.x · 08. 04. 2013 18:57

Dobrý den, potřeboval bych popostrčit v následujícím přikladu. Nevím si rady. Děkuju

Urči délku oblouku křivky

$x(t)=t+\frac{1}{2}sin2t$
$y(t)=\frac{1}{2}cos2t$

$t\in \langle0;\frac{\pi }{2}\rangle$

Po derivování a dosazení do vzorce:

$d=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{(1+cos2t)^{2}+(-sin2t)^{2}}dx$

A tady jsme se sekl a netuším jak dál pokračovat.

martisek · 08. 04. 2013 19:18

↑ Filla.x:

Ahoj,

umocnil bych závorku použil vzorečky pro dvojnásobný úhel, popř. rozepsal goniometrickou jedničku - mělo by se to zjednodušit. A integrujeme samozřejmě dt, nikoliv dx :-)

Tom83B · 08. 04. 2013 19:19 — Editoval Tom83B (08. 04. 2013 19:20)

Roznásob si výraz v odmocnině. Získáš
$\sqrt{1+2\cos2t+\cos^22t+\sin^22t}=\sqrt{2+2\cos2t}$
rozšíříš výrazem $\frac{\sqrt{1-\cos2t}}{\sqrt{1-\cos2t}}$ a získáš
$\sqrt{2}\int\frac{\sin2t}{\sqrt{1-\cos2t}}\mathrm{d}t$
dál uděláš substituci $z=-\cos2t$ a dostaneš výraz, kterej po zinegrování bude nějakej násobek $\arcsin z$

Filla.x · 08. 04. 2013 21:17

Díky za pomoc ;) já přišel ještě na jeden způsob :) .. tak ho sem zítra hodím a uzavřu téma.

Matematické Fórum

#1 08. 04. 2013 18:57

Užití integrálu - délka oblouku křivky

#2 08. 04. 2013 19:18

Re: Užití integrálu - délka oblouku křivky

#3 08. 04. 2013 19:19 — Editoval Tom83B (08. 04. 2013 19:20)

Re: Užití integrálu - délka oblouku křivky

#4 08. 04. 2013 21:17

Re: Užití integrálu - délka oblouku křivky

Zápatí