Matematické Fórum

jirin97 · 09. 04. 2013 18:03

Ahoj lidi. Zítra píšu čtvrtletní práci z matematiky a rád bych ji napsal dobře. Narazil jsem na větší problem. Nejdou mi vyřešit příklady týkající se nerovnic s absolutní hodnotou. A to konkretne: |v| - |5-v| < 2. To je první. A ještě jeden. |v+2| - |v-5| ≥ -3 Potřeboval bych napsat konkretní postup. Vůbec to nechapu, jsem v koncich. Omlouvam se, že otravuju. Diky moc. Jirka

bejf · 09. 04. 2013 18:16

↑ jirin97:
Ahoj Jirko, postup je velmi jednoduchý. Ovšem pro "ohmatání" vřele doporučuji několik příkladů spočítat. Klidně pomalu, jak tobě to vyhovuje, ale hlavně abys to pochopil.

Ke konkrétním příkladům.

$|v|+|5-v|<2$
Určíš si nulové body. Ty vezmeš vždy tak, že vezmeš výraz po výrazu ze všech absolutních hodnot, a položíš je rovno nula. Tady máme absolutní hodnoty dvě.
Tedy: $v=0$ a $5-v=0 \Rightarrow v=5$
Nerovnice se řeší vždy v oboru reálných čísel, pokud zadání neříká něco jiného. Když si určíš ty nulové body, rozpadne se ti tímto obor reálných čísel na intervaly $(-\infty,0),(0,5),(5,+\infty)$ .
Zatím se chytáš?

jirin97 · 09. 04. 2013 18:25

Ano, zatím to chápu, napíšete mi prosím postup dál?

bejf · 09. 04. 2013 18:32

↑ jirin97:
Fajn. Teď si uděláš takovou přehlednou tabulku.

Musíme teď nerovnici vyřešit v každém intervalu zvlášť.

1)
Nejdřív vyplníme tu tabulku. Vezmeš proměnnou $v$ a v jednotlivých intervalech si za ni dosadíš libovolné číslo z toho konkrétního intervalu. Tedy je jasné, že $v$ bude v prvním intervalu určitě záporné, a pak v dalších dvou intervalech kladný.

bejf · 09. 04. 2013 18:51 — Editoval bejf (09. 04. 2013 18:58)

↑ jirin97:
Můžeš si všimnout, že v případě výrazu $v$ je nulový bod číslo $0$ , který je společnou hranicí pro první a druhý interval.
Můžeme říct, že pokud je v prvním intervalu $v$ záporné, tak ve druhém bude $v$ kladné (protože se mezi těmito dvěma intervaly překročí hranice toho nulového bodu, čímž se mění znaménko a v dalších intervalech se znaménko nemění), tím pádem ve třetím intervalu je také $v$ kladné.

Dále si vyplníme druhý řádek.
Dosadíme nějaké číslo z $(-\infty,0)$ třeba $-1$ do výrazu $5-v$ , dostaneme $5-(-1)=6$ . Tudíž v prvním intervalu bude tento výraz kladný.
Hraniční bod, v tomto případě číslo $5$ , je mezi druhým a třetím intervalem, takže druhý interval bude také kladný a znaménko se bude měnit až ve třetím intervalu.
Můžeme si to klidně ověřit dosazením z $(5,+\infty)$ . Dosaďme nejmenší číslo, které patří do tohoto intervalu, tedy šestku $5-6=-1$ .

Takže ve výsledné tabulce bychom měli mít první dva řádky takto:
$- ; + ; +$
$+ ; + ; -$

bejf · 09. 04. 2013 19:03 — Editoval bejf (09. 04. 2013 19:27)

↑ jirin97:
Nyní si v té tabulce vyplníme další dva řádky.
Udělá se to jednoduše. Výrazy v absolutních hodnotách zbavíš té absolutní hodnoty a v příslušném řádku a sloupci jim přiřadíš znaménko, které ti vyšlo z předchozích výpočtů.
Tedy první řádek se znaménky je $- ; + ; +$ , tudíž v prvním intervalu pro $|v|$ bude rovno $-v$ , ve druhém a třetím intervalu bude rovno $v$ .
Druhý řádek se znaménky je $+ ; + ; -$ , tudíž v prvním a druhém intervalu pro $|5-v|$ dostaneme $5-v$ , ve třetím dostaneme $-(5-v)$ z čehož plyne vlastně $v-5$ - znaménka se u tohoto výrazu obrátí.

Teď už konečně můžeme přistoupit k řešení nerovnice $|v|-|5-v|<2$ v jednotlivých intervalech.
1)
pro $v\in(-\infty,0)$
$-v-(5-v)<2\nl -v+v-5<2\nl 0v<7$
Platí pro všechna $v\in \mathbb{R}$ ovšem musíme ještě udělat průnik tohoto intervalu s intervalem, ve kterém nerovnici řešíme.
$$-\infty,0$\cap \mathbb{R}=$-\infty,0$$

2)
pro $v\in\langle0,5)$
$v-(5-v)<2\nl v+v-5<2\nl 2v<7\nl v<\frac{7}{2}$
Platí pro všechna $v\in$-\infty,\frac{7}{2}$$ . Opět uděláme průnik s intervalem, ve kterém řešíme.
$\langle 0,5 ) \cap (- \infty , \frac{7}{2})= \langle 0 ,\frac{7}{2})$

3)
pro $v\in\langle5,+\infty)$
$v-(v-5)<2\nl v-v+5<2\nl 0v<-3$
Pro tato $v$ je řešením $\emptyset$ .

Řešením celé nerovnice je sjednocení všech výsledných intervalů.
$$-\infty,0$ \cup \langle 0 ,\frac{7}{2})= $-\infty, \frac{7}{2}$$

bejf · 09. 04. 2013 19:34

↑ jirin97:
Druhý příklad vyřešíš naprosto stejným způsobem. Zkus si to sám, můžeš zde naznačit postup a když ti to nebude vycházet, najdeme chyby.

jirin97 · 09. 04. 2013 19:35

děkuji moc:) zkusím to.

jirin97 · 09. 04. 2013 19:39

U tohoto příkladu vidím, že jednou když to je 0v<7, že to platí pro všechny, avšak u toho třetí když to je 0v<3 je množina prázdná. Jak to poznám? A chci se zeptat jestli mi vyšli správně výsledky u toho příkladu. I K1 prázdná množina, k2 2v je větší rovno 0 a u toho třetího 0v větší rovno 10. Je to správně? A jak postupovat potom?

bejf · 09. 04. 2013 19:48

↑ jirin97:
Ještě k tomu tvému dotazu u prvního příkladu.
$0v<7$ platí pro všechna $v\in \mathbb{R}$ , protože ať si dosadíš jakékoliv reálné číslo, tak se vždycky násobí nulou. Tedy jakékoliv reálné číslo dosazené do levé strany bude menší jak 7.
Kdežto $0v<-3$ nemůže platit nikdy, protože $0>-3$ .

bejf · 09. 04. 2013 20:00

↑ jirin97:
Druhý příklad.
V prvním intervalu vyjde $0v\ge 4$ , což je nesmysl laicky řečeno, matematicky řečeno je výsledkem správně prázdná množina.
Ve druhém intervalu vyjde $2v\ge 0$ což se ještě zapisuje taky jako $v\ge 0$ , kde je průnikem interval $\langle 0,5)$ .
Ve třetím intervalu vyjde $0v\ge -10$ , což opět platí pro všechna $v\in \mathbb{R}$ , ale musí se zas udělat průnik s intervalem, ve kterém se nerovnice řeší. Třetí průnik je tedy $\langle 5,+\infty)$ .

Pak uděláš sjednocení všech třech průniků.
$\emptyset \cup \langle 0,5) \cup \langle 5,+\infty)=\langle 0,5) \cup \langle 5,+\infty)$
což lze vlastně napsat jako $\langle 0,+\infty)$ .

jirin97 · 10. 04. 2013 15:21

Děkuji moc mi to pomohlo. Chtěl bych se zeptat jestli byste mi jeste prosím nenapsal konkretni postup u techto 3 příkladů. Nejsem si jist že mi vysli správně. Je to kvůli tomu, že zde jsou 3 absolutní hodonty. Děkuji moc. Příklady jsou:
|x| - 2.|5+x|<|2x-1|, |3x - 1| - x ≤ |x+2| + |2-x| - 2 a |5x-5| - |3-x| + 4x > 3.|2x+4| -12

bejf · 10. 04. 2013 16:33 — Editoval bejf (10. 04. 2013 16:34)

↑ jirin97:
Za málo. Nyní k dalším tvým dotazům.

Postup je naprosto stejný s tím rozdílem, že se v těchto příkladech vyskytuje o jednu absolutní hodnotu víc, čili dostaneš o jeden nulový bod víc. Nulové body ti obor reálných čísel rozdělí celkem na čtyři intervaly. Nerovnici pak zase řešíš v každém intervalu zvlášť přesně tak jak jsme si ukazovali včera.

Napíšu jen výsledky:
$|x| - 2|5+x|<|2x-1|$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

$|3x - 1| - x \le |x+2| + |2-x| - 2$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

$|5x-5| - |3-x| + 4x > 3|2x+4| -12$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Jako bonusové cvičení by sis mohl (ovšem z tvé vlastní vůle) například udělat i grafické řešení všech těchto nerovnic. S tím bych samozřejmě mohl také pomoci.

jirin97 · 11. 04. 2013 18:16

Děkuji za výsledky. Bohužel mi to nevychazi. Nevim, kde jsem udelal chybu. Mohl byste mi proto prosim poslat konkretni reseni?

bejf · 11. 04. 2013 18:21

↑ jirin97:
Určitě, ale poprosím strpení, nebude to hned. Ještě dnes určitě ano.

jirin97 · 11. 04. 2013 18:29

děkuji moc:)

bejf · 11. 04. 2013 18:49

↑ jirin97:
Zatím přináším první nerovnici.
$|x| - 2|5+x|<|2x-1|$
Nulové body $x=-5,x=0,x=\frac{1}{2}$

Tabulka znamének a hodnot výrazů:

A můžeme počítat.

1) Pro $x\in (-\infty,-5)$ Počítej taky, ať to vidíš.
$-x-2(-5-x)<1-2x\nl -x+10+2x<1-2x\nl 3x<9\nl x<3$ Průnik tohoto s intervalem, ve kterém řešíme je $(-\infty,-5)$ .

2) Pro $x\in \langle-5,0)$
$-x-2(5+x)<1-2x\nl -x-10-2x<1-2x\nl -x<11\nl x>-11$ Opět průnik tohoto s intervalem, ve kterém řešíme je $\langle-5,0)$

3) Pro $x\in \langle 0,\frac{1}{2})$
$x-2(5+x)<1-2x\nl x-10-2x<1-2x\nl x < 11$ Průnik s intervalem, ve kterém řešíme je $\langle 0,\frac{1}{2})$

4) Pro $x\in \langle \frac{1}{2},+\infty)$
$x-2(5+x)<2x-1\nl x-10-2x<2x-1\nl -3x<9\nl x>-3$ Průnik tohoto s intervalem, ve kterém řešíme je $\langle \frac{1}{2},+\infty)$

Sjednocení všech intervalů dává dohromady $x\in \mathbb{R}$

jirin97 · 11. 04. 2013 18:55

můžu se jeste zeptat, když my vychazi 0v>0 co je jako vysledek? a jeste s<0.?

jirin97 · 11. 04. 2013 18:58

jo a dekuji moc za ty priklady. UZ jsem to pochopil.

bejf · 11. 04. 2013 19:09

jirin97 napsal(a):
můžu se jeste zeptat, když my vychazi 0v>0 co je jako vysledek? a jeste s<0.?

Když ti vychází $0v>0$ tak řešením je prázdná množina, protože ať dosadíš jakékoliv číslo, bude se vždy rovnat nule, tedy nebude větší jak nula.

jirin97 napsal(a):
jo a dekuji moc za ty priklady. UZ jsem to pochopil.

Takže už nemusím počítat ty další dva?

bejf · 11. 04. 2013 19:37

↑ jirin97:
$|3x - 1| - x \le |x+2| + |2-x| - 2$

Nulové body jsou $x=-2,x=\frac{1}{3},x=2$

Tabulka znamének:

Můžeme počítat.

1) Pro $x\in (\infty,-2)$
$1-3x-x\le (-x-2)+(2-x)-2\nl 1-4x\le -2x-2\nl -2x\le -3\nl x\ge \frac{3}{2}$ Průnikem tohoto s intervalem, ve kterém řešíme je $\emptyset$

2) Pro $x\in \langle -2,\frac{1}{3}$
$1-3x-x\le x+2 +2-x-2\nl 1-4x\le 2\nl -4x\le 1\nl x\ge -\frac{1}{}$ Průnikem tohoto s intervalem, ve kterém řešíme je $\langle -\frac{1}{4},\frac{1}{3}$

3) Pro $x\in \langle \frac{1}{3},2)$
$3x-1-x\le x+2 + 2-x -2\nl 2x-1\le 2\nl 2x\le 3\nl x\le \frac{3}{2}$ Průnikem tohoto s intervalem, ve kterém řešíme je $\langle \frac{1}{3}, \frac{3}{2}\rangle$

4) Pro $x\in \langle 2,+\infty)$
$3x-1-x\le x+2+x-2-2\nl 2x-1\le 2x-2\nl 0x\le-1$ Tadyto je pěkný nesmysl, nula není nikdy menší nebo rovna -1, takže průnikem je $\emptyset$

Sjednocení všech intervalů je $\langle -\frac{1}{4}, \frac{1}{3} \rangle \cup \langle \frac{1}{3}, \frac{3}{2} \rangle = \langle -\frac{1}{4}, \frac{3}{2} \rangle$

jirin97 · 11. 04. 2013 19:38

bylo by to lepší kdybyste to spočítal. Ale jestli nechcete nemusite. A když to je s<0 jak to je?

bejf · 11. 04. 2013 19:42

↑ jirin97:
No když už jsem v tom, tak už to dodělám. :-)

Když je $s<0$ tak $s\in (-\infty,0)$ , akorát nevím v jakém smyslu se na to ptáš, případně s jakým intervalem se má dělat sjednocení/průnik, nevím.

bejf · 11. 04. 2013 20:39

$|5x-5| - |3-x| + 4x > 3|2x+4| -12$

Nulové body máme $5x=5 \Rightarrow x=1$ , $x=3$ , $2x=-4 \Rightarrow x=-2$

Tabulka znamének:

Můžeme počítat.

1) Pro $x\in (-\infty,-2)$
$5-5x-(3-x)+4x>3(-2x-4)-12\nl 2-4x+4x>-6x-24\nl 6x>-26\nl 3x>-13\nl x>-\frac{13}{3}$ Průnikem tohoto s intervalem, ve kterém řešíme je $$-\frac{13}{3},-2$$

2) Pro $x\in \langle -2,1)$
$5-5x-(3-x)+4x>3(2x+4)-12\nl 2>6x\nl x<\frac{1}{3}$ Průnikem toho s intervalem, ve kterém řešíme je $\langle -2,\frac{1}{3})$

3) Pro $x\in \langle 1,3)$
$5x-5-(3-x)+4x>3(2x+4)-12\nl 10x-8>6x\nl 4x>8\nl x>2$ Průnik tohoto s intervalem, ve kterém řešíme je $(2,3)$

4) Pro $x\in \langle 3,+\infty)$
$5x-5-(x-3)+4x>3(2x+4)-12\nl 8x-2>6x\nl 2x>2\nl x>1$ Průnik tohoto s intervalem, ve kterém řešíme je $\langle 3,+\infty)$

Sjednocení všech průniků je $$-\frac{13}{3},-2$ \cup \langle -2,\frac{1}{3}) \cup (2,3) \cup \langle 3,+\infty) = $-\frac{13}{3},\frac{1}{3}$ \cup $2,+\infty$$