Matematické Fórum

Coree · 10. 04. 2013 14:55

Dobrý den všem. Nevím si rady s příkladem
Mám určit množinu středů kružnic, které se dotýkají libovolně zvolení kružnice a její tečny. Máme to řešit přes vzdálenosti.

Zvolila jsem si jednoduše kružnici S[0,0], r=2. Má tudíž rovnici $x^{2}+y^{2}=4$
A tečna t: x=2

Vím, že jedno řešení bude přímka kolmá na tečnu v bodě dotyku T[2,0], tuto část mám už vyřešenou.

A druhá část bude prababola, to mi z náčrtku vyšlo, jen nevím, jak to dokázat. Prosím, poraďte mi :)

Jj · 10. 04. 2013 17:39 — Editoval Jj (10. 04. 2013 18:32)

Myslím, že když si zvolíte kružnici v počátku obecněji $k: x^2 + y^2 = r^2$ a tečnu k ní t: x = r pak pro bod M[x, y] geometrického místa bodů bude platit (taky jen z náčrtku):

vzdálenost od tečny t = r - x
vzdálenost od středu kružnice k = r + r - x = 2r - x
a podle Pythagorovy věty pro bod M platí $x^2 + y^2 = (2r -x)^2$
po úpravě $y^2 = - 4r(x-r)$
tj. rovnice paraboly.

Ale zkontrolujte si to.
Upraveno - oprava podle upozornění tazatelky.

MirekH · 10. 04. 2013 17:50 — Editoval MirekH (10. 04. 2013 17:55)

Bez obrázku se to trochu hůř vysvětluje, ale pokusím se.

Víme, že vzdálenost středu $S$ nové kružnice od tečny $t$ je stejná jako vzdálenost od kružnice. Pro x-ovou souřadnici bodu $S$ proto můžeme psát $x = R - |St|$ , kde $r$ je poloměr původní kružnice, a vzdálenost středů kružnic je $R + |St|$ . Do náčrtku dokreslíme pravoúhlý trojúhelník, jehož přeponou jsou středy stran kružnic. Z Pythagorovy věty určíme y-ovou souřadnici bodu $S$ :
$y = \sqrt{(R + |St|)^2 - (R - |St|)^2} = \sqrt{4|St|} = 2\sqrt{R|St|}$ ,
$y^2 = 4R|St|$ .
Ze vztahu pro $x$ vyjádříme $|St| = R - x$ a dosadíme:
$y^2 = -4xR + 4R^2,$
$x = R - \frac{y^2}{4R},$
což je rovnice paraboly.

Edit: opravena chyba.