Matematické Fórum

misha8 · 03. 01. 2009 13:43

Pokouším se dokázat výrok |z* u| ≤ |z| * |u| pro z, u náleží C a nějak jsem se do toho zamotala. Děkuji za odpověď

lukaszh · 03. 01. 2009 13:52

↑ misha8:
Zapíš napríklad:
z = a + bi
u = c + di
a z definície absolútnej hodnoty komplexného čísla dokáž.

Marian · 03. 01. 2009 13:56

↑ misha8:
Lehce se dá dokázat, že platí rovnost
|z* u| = |z| * |u|.

Neměla tam být jiná operace místo násobení.

misha8 · 03. 01. 2009 14:46

Pochopila jsem to dobře?
|z* u| = |z| * |u|
z= a+ bi
u= c+di
Důkaz sporem:
(a+ bi)(c+ di)≠(a+ bi)(c+ di)
ac+adi+cbi+db≠ac+adi+cbi+db
co6 nen9 pravda protože se rovnají

Marian · 03. 01. 2009 15:18

↑ misha8:

Není potřeba dokazovat sporem Přímý důkaz je velmi snadný. Navíc ve tvém příspěvku vidím nepřesnosti, takže to uvedu na pravou míru.

Důkaz. Předpokládejme, že $u=a+b\cdot\mathrm{i}$ a $u=c+d\cdot\mathrm{i}$ , kde $(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4$ . Pak platí

Analogicky také

K tomu, abychom dokázali, že platí $|z\cdot u|=|z|\cdot |u|$ , je nutné a stačí dokázat rovnost
$(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2),$
což jistě pravda je.

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2009 13:43

Důkaz |a* b| ≤ |a| * |b|

#2 03. 01. 2009 13:52

Re: Důkaz |a* b| ≤ |a| * |b|

#3 03. 01. 2009 13:56

Re: Důkaz |a* b| ≤ |a| * |b|

#4 03. 01. 2009 14:46

Re: Důkaz |a* b| ≤ |a| * |b|

#5 03. 01. 2009 15:18

Re: Důkaz |a* b| ≤ |a| * |b|

Zápatí