Matematické Fórum

halogan · 02. 01. 2009 02:26

Dobrý den,

občas, když se řeší logaritmické rovnice, mě někdo "opraví", že bych měl používat raději logaritmus přirozený, než dekadický.

Je mi jasné, že záleží na tom, s jakými čísly operuji. Pokud je rovnice protkaná eulerovými čísly, použiji jistě přirozený logaritmus. Mně šlo o to, že jsem byl upozorněn u úloh s racionálními (často celými) hodnotami.

Přijde mi tedy pravděpodobnější, že u takovýchto úloh najdu nějaký "řešitelný" logaritmus (10^a). Nemluvím samozřejmě o konstrukcích typu $\frac{log 9}{log 21}$ , kde na tom nesejde.

Nehaním tady přirozený logaritmus, jen bych se rád dozvěděl o jeho výhodách při řešení těchto rovnic. Musím podotknout, že jsem dítě kalkulaček - nejsem tedy nějak ovlivněn logaritmickými pravítky, tak možná to bude jeden z důvodů mého nepochopení.

Díky za info.

Marian · 02. 01. 2009 07:17

↑ halogan:

Význam přirozeného logaritmu tkví samozřejmě v jeho základu a v tom, že se jedná o inverzní funkcí k funkci exponenciální. Pokud budeš někdy číst knihu Waltera Rudina Analýza v reálném a komplexním oboru, pak v nulté kapitole je dosti podrobné poučení o tom, proč je funkce exp(x) nejdůležitější v matematice (definici míry důležitosti funkce v matematice jsem ale nenašel :-). Jedna z mnoha hezkých vlastností je její invariantní chování vůči derivování, tedy (exp(x))' = exp(x). Dá se také odvodit identita
$\log _a(x)=\frac{\ln x}{\ln a},\qquad x>0,\quad a\in (0,1)\cup (1,\infty).$

Jistou univerzálnost Eulerova čísla "e" pak vyjadřuje toto zajímavé tvrzení:
Tvrzení. Pro každou (!) posloupnost reáýlných čísel paltí
$\limsup_{n\to\infty}\left (\frac{a_n+a_{n+1}}{a_n}\right )^n\ge\mathrm{e},$
přičemž $\mathrm{e}$ je největší z čísel, pro která platí
$\limsup_{n\to\infty}\left (\frac{a_n+a_{n+1}}{a_n}\right )^n\ge a.$

Ostatní poznámky připojí jistě kolegové.

jendula11 · 02. 01. 2009 12:01

chtěl bych se zeptat jestli někdo z vás neví kde by se dala stáhnout výše uvedená kniha analýza v reálném a komplexním oboru.

Marian · 03. 01. 2009 13:50

↑ jendula11:
http://www.eknigu.org/info/tmp/Rudin,%2 … 18296.djvu

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2009 02:26

Používání přirozeného logaritmu místo dekadického

#2 02. 01. 2009 07:17

Re: Používání přirozeného logaritmu místo dekadického

#3 02. 01. 2009 12:01

Re: Používání přirozeného logaritmu místo dekadického

#4 03. 01. 2009 13:50

Re: Používání přirozeného logaritmu místo dekadického

Zápatí