Matematické Fórum

jeame · 10. 04. 2013 20:41

ahoj, mám tu zajímavou rovnici, goniometrické vzorce doufám, že znám, avšak mi to nevychází, někde dělám chybu...
výsledek: $\Pi /2 + k\Pi ,2k\Pi ,\Pi /5+2/5k\Pi$

zadaní: $sin x + sin3x = sin2x + sin4x$

upravení dle vzorce: $sin x + sinx.cos2x+cosx.sin2x=sin2x+2.sin2x.cosx$

další postup: se snad dozvím :)

cyrano52 · 10. 04. 2013 20:47

↑ jeame:

Ahoj, zkus rozložit, co se dá, sečti, odečti a potom uvidíme. :)

bejf · 10. 04. 2013 20:59

↑ jeame:
Pokud nevíš z hlavy (nebo nemáš již bokem někde napsané), čemu se rovná $sin3x$ a $sin4x$ , můžeš si to spočítat přes součtové vzorce.
Pro $sin2x$ vzorec $sin(x+x)=\ldots$ .
Pro $sin4x$ vzorec $sin(2x+2x)=\ldots$ .

jeame · 10. 04. 2013 21:05

↑ bejf:↑ cyrano52:

po všech možných úpravách sem se dostal na
$sin^{2}x-3cosx+2=0$

jo?

jeame · 10. 04. 2013 21:06

↑ bejf:

vždyť to tam podle těchto vzorců upravené mám...pak sem to rozložil na uplně ty nejmenší možné díly, ty se mi tam často podčítali, myslíte že byste to mohli zčeknout? :)

cyrano52 · 10. 04. 2013 21:20

↑ jeame:

A teď si můžeš vyjádřit $\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x$ a substituovat cosinus. :)

jeame · 10. 04. 2013 21:28

↑ cyrano52:

problém, nevychází mi pěkný výsledky pod odmocninou...:/

cyrano52

↑ jeame:

Hm, teďka to počítám a mám pocit, že jsi to špatně upravil. Můj postup:

$\sin x+\sin x(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+\cos x*2*\sin x\cos x=2\sin x\cos x+4\sin x\cos ^{2}x$
$\sin x\cos x=0$

jeame · 10. 04. 2013 21:39

↑ cyrano52:
já sem tam použil asi špatný vzorec ...
můžeš ukázat jak dál? :)

jaksi mi uchází co je toto: $\sin x\cos x=0$

cyrano52

↑ jeame:

Jak tak koukám na tu první úpravu, tak jsi zapomněl napsat $\cos 2x$ u posledního mnohočlenu, achjo. Tak to musíme spočítat znova.

jeame · 10. 04. 2013 21:50

↑ cyrano52:

ted vidím že hned na druhém řádku jsem udělal chybu, první příspěvek, druhý řádek, poslední člen má tam být cos2x...tam nemám tu dvojku....tys pak počítal s tím mojím nebo se svojím??

jeame · 10. 04. 2013 21:52

↑ jeame:

jj vidim, že si opět minut ode mě napřed...strašně se omlouvám ze tu chybu..

cyrano52 · 10. 04. 2013 21:54

↑ jeame:
Není třeba se vůbec omlouvat, měl jsem to zkontrolovat. :)

jeame · 10. 04. 2013 22:17

↑ cyrano52:

vychází ti něco? :) jako on je to příklad s hvězdičkou...

cyrano52 · 10. 04. 2013 22:22

↑ jeame:

Vycházejí mi samé odmocniny, asi někde dělám chybu.. Tak promiň, že ti ten příklad nevypočtu, ale už jsem celkem unavený a zavírají se mi oči :). Snad se najde někdo jiný. :)

jeame · 10. 04. 2013 22:24

↑ cyrano52:

enom řekni jaké odmocniny prosim :)

jeame · 10. 04. 2013 22:28

↑ jeame:

ale asi to spočítat lze:
Odkaz

bejf · 10. 04. 2013 22:30

↑ jeame:
Já už jsem na to přišel. Pár týdnů zpět jsem to tu řešil s Arabelou, tak mi to nedalo a pohledal jsem.
Zapomeň prosím na $sin(x+y)$ ale použij vzorec pro sčítání goniometrických funkcí $sinx + siny = 2sin\frac{x+y}{2}\cdot cos\frac{x-y}{2}$ na obě strany.

Levá strana vyjde $2\cdot sin2x\cdot cosx$ a pravá strana vyjde $2\cdot sin3x\cdot cosx$ .
Pak si vše hodíš třeba na levou stranu, vytkneš $2\cdot cosx$ a pak porovnáš závorku rovno nule. Tam jsem si ale pak ten graf musel nakreslit, abych to viděl.

jeame · 10. 04. 2013 22:36

↑ bejf:

já zkoušel i ten druhý, ale taky mi to nešlo....asi nenajdeš ten topic kde ste to řešili že? :D

bejf · 10. 04. 2013 22:46

↑ jeame:
Máš to tu. Mého výpočtu si nevšímej. Ač je správný, je dost krkolomný.

zdenek1 · 10. 04. 2013 22:50

↑ jeame:
$\sin x + \sin3x = \sin2x + \sin4x$
$2\sin \frac{3x+x}{2}\cos \frac{3x-x}{2}=2\sin \frac{4x+2x}{2}\cos \frac{4x-2x}{2}$
$\sin 2x\cos x=\sin 3x\cos x$
$\cos x(\sin2x-\sin3x)=0$
$\cos x=0$ nebo $\sin2x=\sin3x$

a) $\cos x=0$
$x=\frac\pi2+k\pi$ , $k\in\mathbb Z$

b) $\sin2x=\sin3x$
$3x=2x+\2k\pi$ nebo $2x=\pi-3x+2k\pi$
$x=k\pi$ nebo $x=\frac\pi5+\frac{2k\pi}5$ $k\in\mathbb Z$