Matematické Fórum

byk7 · 09. 04. 2013 20:57

Zdravím,

nejde mi o postup, ale čistě o výsledek.
Jak vypadá (vypadají) funkce splňující diferenciální rovnici
$m\,\frac{\d^2x }{\d t^2 }=\frac{2pVx}{x^2-d^2}$
kde m a d jsou konstanty a pV=nRT=konst.?

Díky za pomoc.

jarrro · 11. 04. 2013 09:50

↑ jrn:to nie je rovnica čo zadal ↑ byk7:

jrn · 11. 04. 2013 11:30

↑ jarrro: ježiš nojo, máš pravdu, skryju to

Pavel Brožek · 11. 04. 2013 12:45

↑ byk7:

Ahoj, řešení téhle rovnice pravděpodobně nepůjde nijak hezky vyjádřit. Přesto se z ní dá něco „vykoukat“. Například to, že v oblasti $x>d$ a $x\in(-d,0)$ je funkce konvexní, v oblasti $x<-d$ a $x\in(0,d)$ je konkávní. Hranice $x=d$ (resp. $x=-d$ ) je zřejmě pro funkci nepřekročitelná – když se k ní přibližujeme, hodnota na pravé straně se zvyšuje nade všechny meze, takže roste i velikost druhé derivace a funkce se tak od hranice „odrazí“. Víc jsem toho nevykoukal…

↑ pietro:

Nevím, kde jsi udělal chybu, možná v tom, že ti v čitateli chybí x, ale ten tvůj graf neodpovídá tomu, jak funkce pro tebou zvolené hodnoty bude vypadat.

Brano · 11. 04. 2013 13:35 — Editoval Brano (11. 04. 2013 13:44)

preskalovanim $x$ aj $t$ sa da upravit na
$x''=\frac{x}{x^2-1}$
takze sa staci zaoberat touto a ako uz bolo poznamenane, pekne riesenie mat nebude, tak navrhujem skusat rozne pociatocne podmienky a riesit numericky - napriklad vo Wolfram|Alpha ak ti pre zaciatok stacia obrazky.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% … 280%29%3D1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% … 280%29%3D1

PS: ale este by si mal upresnit co vlastne potrebujes. Ak riesenie pre dane zaciatocne podmienky, tak numericky; ale ak chces skumat vlastnosti rieseni v okoli nejakych vyznamnych bodov, tak by sa to mohlo este prerobit na dynamicky system a urobit nejake rozvoje na pravej strane.

jarrro · 12. 04. 2013 19:39 — Editoval jarrro (13. 12. 2016 14:47)

napadlo ma toto neviem nakoľko je to korektné
$x^{\prime \prime}=\frac{x}{x^2-1}\nl x^{\prime}\cdot x^{\prime \prime}=\frac{x\cdot x^{\prime}}{x^2-1}\nl $x^{\prime}$^2=\ln{$x^2-1$}+C\nl x^{\prime}=\sqrt{\ln{$x^{2}-1$}+C}\nl \int{\frac{1}{\sqrt{\ln{$x^{2}-1$}+C}}\mathrm{d}x}=t+D$

Brano · 13. 04. 2013 00:05 — Editoval Brano (13. 04. 2013 00:09)

↑ jarrro:
takze nakoniec sa to da vyjadrit (pomerne) pekne :-)
sedi to aj s tymi obrazkami co som spominal. len este treba poznamenat, ze to vyzera tak, ze riesenie vie prechadzat medzi vetvami
$x^{\prime}=\sqrt{\ln{|x^{2}-1|}+C}$
a
$x^{\prime}=-\sqrt{\ln{|x^{2}-1|}+C}$

jarrro · 13. 04. 2013 08:45

↑ Brano:hej len ten integrál je neelementárny

Brano · 13. 04. 2013 22:17

↑ jarrro:
to je pravda preto som tam prieditoval to "(pomerne)" - ale v skutocnosti to ze mame trajektoriu vo fazovom priestore vyjadrenu pekne - t.j.
$x^{\prime}^2=\ln{|x^{2}-1|}+C$

tak to je uz dost dobre na zistovanie roznych vlastnosti riesenia.

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2013 20:57

Diferenciální rovnice

#2 10. 04. 2013 20:03 — Editoval pietro (11. 04. 2013 20:48) Příspěvek uživatele pietro byl skryt uživatelem pietro. Důvod: idem hladat chybu

#3 10. 04. 2013 22:22 — Editoval jrn (10. 04. 2013 22:25) Příspěvek uživatele jrn byl skryt uživatelem jrn.

#4 11. 04. 2013 09:50

Re: Diferenciální rovnice

#5 11. 04. 2013 11:30

Re: Diferenciální rovnice

#6 11. 04. 2013 12:45

Re: Diferenciální rovnice

#7 11. 04. 2013 13:35 — Editoval Brano (11. 04. 2013 13:44)

Re: Diferenciální rovnice

#8 12. 04. 2013 19:39 — Editoval jarrro (13. 12. 2016 14:47)

Re: Diferenciální rovnice

#9 13. 04. 2013 00:05 — Editoval Brano (13. 04. 2013 00:09)

Re: Diferenciální rovnice

#10 13. 04. 2013 08:45

Re: Diferenciální rovnice

#11 13. 04. 2013 22:17

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí