Matematické Fórum

drabi · 09. 04. 2013 20:00

Ahoj,
potřebovala bych poradit s tímto problémem:

Mám konvexní funkci f a vím, že existuje její první derivace, která je nezáporná. Můžu předpokládat, že existuje i druhá derivace funkce f?

Budu ráda za jakoukoliv pomoc:)

Stýv · 09. 04. 2013 20:30

ne

drabi · 09. 04. 2013 20:34

↑ Stýv:
A předpokládáme-li spojitost 1.derivace?

Stýv · 09. 04. 2013 21:26

to taky nepomůže, např. $f$ taková, že $f'(x)=x^++1$ splňuje tvoje předpoklady, ale nemá druhou derivaci v 0

drabi · 09. 04. 2013 21:30

↑ Stýv:
Dobře. Chtěla jsem dokázat, že mám-li distribuční funkci F konvexní na intervalu $(-\infty,m]$ a konkávní na $[m,\infty)$ , pak f = F' je rostoucí $(-\infty,m]$ na a klesající na $[m,\infty)$ .

f je hustota a je nezáporná. Lze toto nějak dokázat?

martisek · 10. 04. 2013 12:28

↑ drabi:

Myslím, že ne - konstantní funkce je totiž konkávní i konvexní současně a na intervalech, kde je distribuční funkce konstantní,je konstantní i hostota. Ale slabší tvrzení kde se místo rostoucí resp. klesající použije neklesající resp. nerostoucí, je myslím v pořádku.

drabi · 10. 04. 2013 12:37

↑ martisek:
Díky za odpověď.
S tou nerostoucí/neklesající bych se nejspíš spokojila. Ale jak toto dokázat? Mohl bys mi prosím poradit?

drabi · 11. 04. 2013 17:21

tak tedy pro zájemce jsem konečně dala dohromady důkaz:

Distribuční funkce $F$ je na intervalu $(-\infty,m]$ konvexní.
Pro každé $x,y \in (-\infty,m]$ a pro každé $\lambda \in [0,1]$ tedy platí
$F[\lambda x + (1-\lambda)y] \leq \lambda F(x) + (1-\lambda) F(y)$ . (*)

Nech $x < y$ . Nech $f$ je hustota $X$ , potom platí vztah $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, \mathrm{d}t$ .

Dosadíme-li do (*) dostáváme
$\int_{-\infty}^{\lambda x + (1-\lambda)y} f(t) \, \mathrm{d}t \leq \lambda \int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t + (1-\lambda)\int_{-\infty}^{y} f(t) \, \mathrm{d}t$

Volíme $\lambda = \frac{1}{2}$ a upravujeme
$\int_{-\infty}^{\frac{x+y}{2}} f(t) \, \mathrm{d}t &\leq \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t + \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{y} f(t) \, \mathrm{d}t\\ \int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t + \int_{x}^{\frac{x+y}{2}} f(t) \, \mathrm{d}t &\leq \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t + \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{y} f(t) \, \mathrm{d}t\\ \int_{x}^{\frac{x+y}{2}} f(t) \, \mathrm{d}t &\leq \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{y} f(t) \, \mathrm{d}t - \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t\\ \int_{x}^{\frac{x+y}{2}} f(t) \, \mathrm{d}t& \leq \frac{1}{2} \int_{x}^{\frac{x+y}{2}} f(t) \, \mathrm{d}t + \frac{1}{2} \int_{\frac{x+y}{2}}^{y} f(t) \, \mathrm{d}t\\ \frac{1}{2}\int_{x}^{\frac{x+y}{2}} f(t) \, \mathrm{d}t& \leq \frac{1}{2} \int_{\frac{x+y}{2}}^{y} f(t) \, \mathrm{d}t.$
Pro spor předpokládejme, že funkce $f$ je klesající. Potom platí
$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \frac{y-x}{2} < \int_{x}^{\frac{x+y}{2}} f(t) \, \mathrm{d}t \leq \int_{\frac{x+y}{2}}^{y} f(t) \, \mathrm{d}t < f\left(\frac{x+y}{2}\right) \frac{y-x}{2}.$
Na obou stranách ostré nerovnosti máme stejný výraz, což je spor. Tedy funkce $f$ je neklesající.
Stejným způsobem lze dokázat, že je-li $F$ konkávní, pak $f$ je nerostoucí.