#1 11. 04. 2013 15:02
Tečna k elipse
Nechť jsou v rovině dána ohniska 
a 
a bod 
určující elipsu 
, dále je dána přímka 
, kde 
. Dokažte, že úhel, který svírá polopřímka 
s přímkou má stejnou velikost jako úhel sevřený polopřímkou 
a přímkou .
Nemůžu nějak dojít k planimetrickému důkazu.
Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) byk7)
#2 11. 04. 2013 15:46
Re: Tečna k elipse
↑ byk7:
Osobne by som sa nejako nesnažil dôjsť k planimetrickému dôkazu. Normálna geometria totiž využíva v podstate len kružnicu a priamku a skúma ich vlastnosti, pretože sú skrátka pekné a majú ich dosť.
Lenže elipsa je už čosi o trocha nechutnejšie. Aby si toto mohol dokázať, tak musíš nejako šikovne využiť to, že elipsa je množina bodov, ktorých súčet vzdialeností od ohnísk je rovnaký. No a to sa synteticky využíva naozaj ťažko.
1^6 - 2^6 + 3^6 = 666
Offline
#3 11. 04. 2013 19:16 — Editoval martisek (11. 04. 2013 19:16)
Re: Tečna k elipse
↑ byk7: ↑ BakyX:
Na elipse zvolme libovolný bod X a sestrojme osu t vnějšího úhlu průvodičů AX; BX. K bodu B sestrojme bod Q osově souměrný podle přímky t. Protože |AX| +|XB| =2a a |XB|=|XQ|, je také |AX| +|XQ| = |AQ|=2a. Na t zvolme libovolný bod X'<>X. Z trojúhelníkové nerovnosti pro trojúhelník AQX' je |AX'|+ |X'Q| > |AQ|=2a. Protože |X'Q| = |X'B| , je také |AX'|+ |X'B| > |AQ|=2a, což znamená, že X' neleží na elise. Sestrojená osa vnějšího úhlu je tedy tečnou elipsy => tečna elipsy půlí vnější úhel průvodičů BXQ, odtud již snadno dokazované tvrzení.
Wolfram ani jiný chemický prvek matematiku nenaučí.
Offline
#4 11. 04. 2013 20:11
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Re: Tečna k elipse
↑ martisek: Jinak je hezké, že obdobná úvaha lze použít i pro hyperbolu.
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
#5 11. 04. 2013 20:16 — Editoval byk7 (11. 04. 2013 21:00)
Re: Tečna k elipse
Děkuji, něco podobného mě napadlo, ale nevyřešil jsem si otázku, proč by bod Q měl ležet na polopřímce AX?
A ještě mi není jasná jedna věc, jak z "Na t zvolme libovolný bod X'<>X. Z trojúhelníkové nerovnosti pro trojúhelník AQX' je |AX'|+ |X'Q| > |AQ|=2a. Protože |X'Q| = |X'B| , je také |AX'|+ |X'B| > |AQ|=2a, což znamená, že X' neleží na elise." dostaneme "Sestrojená osa vnějšího úhlu je tedy tečnou elipsy" ?
Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.
Offline
#6 11. 04. 2013 21:43
Re: Tečna k elipse
↑ byk7:
"proč by bod Q měl ležet na polopřímce AX"... - protože přímka t byla sestrojena jako osa vnějšího úhlu průvodičů. To je úhel, jehož jedno rameno je polopřímka opačná k XA.
Pro bod X platí|AX|+|BX|=2a, pro libovolný bod X' na t, X'<>X, je |AX'|+|BX'|>2a. To znamená, že X je jediný bod na t, který leží na elipse.
Wolfram ani jiný chemický prvek matematiku nenaučí.
Offline