Matematické Fórum

pema01 · 11. 04. 2013 21:51

Ahoj,

trápím se s příkladem, ale hlavně nechápu jednu věc, která se vyskytuje v několika příkladech a bez toho je nemůžu počítat. Jde o to, že když určím nulové body, tak sestavuji v daných intervalech rovnice, kde jsou různě absolutní hodnoty vynásobené (-) pokud nabývá záporných hodnot, jinak se dosazuje (+) když nabývá kladných hodnot. To je mi jasné.

V příkladě: $|x+2|+2|2x+4|\le |3x-1|$
určím si tedy nulové body: -2 a 1/3 a řeším rovnici v intervalech: $(-\infty ;-2)$ , $\langle-2;\frac{1}{3})$ a $\langle\frac{1}{3};+\infty )$

V posledním intervalu mi ale vyšlo: $x\le -\frac{5}{6}$ což je nesmysl, takže by to měla být prázdná množina?

ale ve výsledcích je to: $(-\infty ;+\infty )$ jak tedy postupovat?

díky mockrát za pomoc.

bejf · 11. 04. 2013 21:53

↑ pema01:
Ahoj. Rozepiš tady, jak ti vyšla tabulka se znaménky, a jak jsi řešil v jednotlivých intervalech nerovnici. Kouknem na to.

pema01 · 11. 04. 2013 21:58

↑ bejf:

nejdříve tedy zkoukneme tabulku:)

řešíme tedy vždy v pořadí (2x+6), (3x-12) a (x) - (první závorka určuje intervaly)
tabulka:
$(-\infty ;-3) : (-2x-6), (12-3x), (-x)$
$\langle-3;0) : (2x+6), (12-3x), (-x)$
$\langle0;4) : (2x+6), (12-3x), (x)$
$\langle4;+\infty ) : (2x+6), (3x-12), (x)$

bejf · 11. 04. 2013 22:01

↑ pema01:
Ale máš zadán jiný příklad v prvním příspěvku. :-)

pema01 · 11. 04. 2013 22:01

↑ pema01:
a) ↑ pema01:
omlouvám se, to je tabulka na jiný příklad, ale ten mi také nevyšel

celý zní: $|2x+6|+|3x-12|+|x|<20$

pema01 · 11. 04. 2013 22:02

↑ pema01:
výsledek má vyjít $(-1;\frac{13}{3})$

pema01 · 11. 04. 2013 22:03

↑ bejf:

pojďme tedy společně hledat chybu: (nejdřív tedy ten příklad, kde jsem už sestavil tabulku)

a) v prvním intervalu
$-2x-6+12-3x-x<20$
$x<\frac{7}{3}$

pema01 · 11. 04. 2013 22:05

↑ pema01:
b) druhý interval:
$2x+6+12-3x-x<20$
$x<-1$

pema01 · 11. 04. 2013 22:06

↑ pema01:
c) 3. interval:

$2x+6+12-3x+x<20$
$0x<2$

a tady to právě nechápu... co se má dělat, když tam je 0<2? prázdná množina to nebude, co? a množina: $(2;4)$ asi taky ne, co?

pema01 · 11. 04. 2013 22:10

↑ pema01:
a 4. interval:
$2x+6+3x-12+x<20$
$x<\frac{13}{3}$

Takže k intervalu 1: $K = (-\infty ;-3)$
2. interval: $K = \langle-3;-1)$
3. interval: ???
4. interval: $K = \langle4;\frac{13}{3})$

pema01 · 11. 04. 2013 22:18

↑ bejf:

A nyní k tomu příkladu v zadání:

tabulka:budu vždy zadávat v tomto pořadí: (x+2), (2x+4) a (3x-1), první určí intervaly
$(-\infty ;-2): (-x-2),(-2x-4),(1-3x)$
$\langle-2;\frac{1}{3}): (x+2),(2x+4),(1-3x)$
$\langle\frac{1}{3};+\infty ): (x+2),(2x+4),(3x-1)$

takže k prvnímu intervalu:
$-x-2-2(-2x-4)\le 1-3x$
$x\le -\frac{5}{6}$
$K = (-\infty ;-2)$

2. interval:
$x+2-2(2x+4)\le 1-3x$
$x\le \frac{7}{6}$
$K = \langle-2;\frac{1}{3})$

3. interval:
$x+2-2(2x+4)\le 3x-1$
$x\le -\frac{5}{6}$
$K=???$

a pak tedy nevím, jak udělat výsledek...

děkuji mockrát za pomoc

bejf · 11. 04. 2013 22:25 — Editoval bejf (11. 04. 2013 22:26)

↑ pema01:

1. interval
Zapomněl jsi otočit znaménko nerovnosti. Má být
$x>\frac{7}{3}$
Udělej průnik $(\frac{7}{3},+\infty) \cap (-\infty,-3)$

2. interval
Taky špatně znaménko nerovnosti. Má být
$x>-1$
Udělej průnik $(-1,+\infty) \cap \langle -3,0)$

3. interval
Výpočet nerovnice máš dobře.
$0x<2$ tedy tento interval platí pro všechna $x\in \mathbb{R}$
Udělej průnik $R\cap \langle 0,4)$

4. interval
Nerovnice je dobře.
Udělej průnik $(-\infty, \frac{13}{3}) \cap \langle 4,+\infty)$

Nakonec sjednoť všechny intervaly, které ti vyšly z těch čtyřech průniků.

bejf · 11. 04. 2013 22:35

↑ pema01:
Mělo by vyjít $K=$-1,\frac{13}{3}$$

pema01 · 11. 04. 2013 22:37

↑ bejf:
nojo... to je pravda, že jsem zapomněl obrátit znaménko - když vynásobím rovnici nekladným číslem, tak musím obrátit znamenko nerovnosti, mooockrát děkuju, už jsem přepracovaný... Dobrou noc :)

bejf · 11. 04. 2013 22:48

↑ pema01:
Za málo. Rovnou připojím i první nerovnici.

Po určení tabulky vychází takovéto intervaly
___________
1. interval
nerovnice vyjde $x>-\frac{11}{2}$ .
Udělat průnik $(-\infty, -2)\cap $-\frac{11}{2},+\infty$$
___________

2. interval
nerovnice vyjde $x<-\frac{9}{8}$ .
Udělat průnik $\langle -2,\frac{1}{3})\cap $-\infty,-\frac{9}{8}$$
___________

3. interval
nerovnice vyjde $x<-\frac{11}{2}$ .
Udělat průnik $\langle \frac{1}{3},+\infty)\cap $-\infty, -\frac{11}{2}$$ (vyjde prázdná množina)
___________

Výsledek sjednocení všeho bude $K=$-\frac{11}{2},-\frac{9}{8}$$