Matematické Fórum

Durix · 11. 04. 2013 15:03 — Editoval Durix (11. 04. 2013 15:18)

Zdravím,
jsem v devítce a zrovna bereme Goniometrické funkce.
Přejdu rovnou k věci - sekl jsem se u jedné slovní úlohy; její znění:

Je dán obsah pravoúhlého trojúhelníka $S= 800cm^{2}$ . A velikost jednoho jeho vnitřního úhlu je $\alpha= 60^\circ 30^\circ$ . Vypočítejte délky odvěsen tohoto trojúhelníka.

Zadání jsem pochopil, náčrt jsem udělal, ale tady přichází problém.
Obsah trojúhelníka je $S=\frac{a\cdot Va}{2}$
Tak jsem tedy obsah vynásobil dvěma a..... a nic.
Nějak nejsem schopný dobádat se výsledku, nevím, co s tím obsahem mám dělat.
Po odmocnění se nedozvím ani stranu a(odvěsnu;podstavu) a ani výšku (tedy druhou odvěsnu)
Zkoušel jsem z pravoúhlého trojúhelníku udělat trojúhelník rovnoramenný, ale výsledek byl furt stejný, nakonec jsem došel až ke kosodelníku, taktéž bezúspěšné.

Prostě nevím, jak spočítat stranu x pouze za pomocí obsahu a vnitřního úhlu.
Prosím o vaše rady, napiště sem i nějaký stručný postup. :) Díky.

bejf · 11. 04. 2013 16:04

↑ Durix:
Ahoj.
Využij náčrtku pravoúhlého trojúhelníku, dopočítej si třetí úhel $\gamma = 180°-(\alpha+\beta)$ kde $\beta=90°$ .
Potom využij funkce sinus pro úhel $\alpha,\gamma$ , kde si rozepíšeš jakému poměru stran se rovnají sinusy příslušných úhlů (měl bys znát, pokud berete goniometrické funkce).

Pak bys měl dostat rovnici, ve které bude na levé straně obsah $S=800cm^2$ a na pravé straně budou hodnoty těch dvou úhlů $\alpha,\gamma$ v součinu s jednou proměnnou. Měl bys vynásobit ty dvě hodnoty mezi sebou a vydělit tím obsah, a pak odmocnit. Vyjde ti potom délka přepony.

Durix · 11. 04. 2013 22:33

Ahoj,
trochu nechápu větu: 'Potom využij funkce sinus pro úhel $\alpha, \gamma$ , kde si rozepíšeš jakému poměru stran se rovnají sinusy příslušných úhlů'.
Tedy, né že bych jí nechápal, spíš neznám postup.
Jestli něco, tak tohle jsme rozhodně ještě nebrali.
Můžeš tedy napsat postup, jak ty poměry zjistit? Byl bych vděčný.

Praha505 · 11. 04. 2013 22:39

ahoj, čemu se rovná sinus alfa a gamy?

Durix · 11. 04. 2013 22:43

$\alpha = 60^\circ 30^\circ$
$\gamma=29^\circ 30^\circ$
$\beta = 90^\circ$

Takové jsou úhly, teď jen nevím, co s nima, abych získal ty poměry stran.

bejf · 11. 04. 2013 23:05 — Editoval bejf (11. 04. 2013 23:07)

↑ Durix:
Aha dobře.
Jistě jste se ale učili vzorečky, že $sin\alpha=\frac{\text{protilehlá odvěsna}}{\text{přepona}}, cos\alpha=\frac{\text{přilehlá odvěsna}}{\text{přepona}}$ ...nebo ne?

Durix · 11. 04. 2013 23:21 — Editoval Durix (11. 04. 2013 23:24)

Ano, samozřejmě učili.
Jde o to, že dokážu vypočítat třeba přeponu, pokud znám úhel a délku jedné odvěsny.
Také dokáži spočítat úhel, znám-li délku dvou stran.
Ale nikdy jsme nepočítali stranu pomocí dvou úhlů.
Takže bych to potřeboval nějak polopaticky vysvětlit.
V tomhle případě to bude

$\sin \alpha 60^\circ 30^\circ = \frac{a}{b}$

Jenže neznám ani jednu délku strany, tak teď babo raď. :D

Praha505 · 11. 04. 2013 23:46

teď si vyjádři z toho vzorce b. To dokážeš naťukat na kalkulačku. ( nezapomeň minuty převést na stupně!!!)

Až budeš mít vyjádřené b, tak vyjádři to sáme u úhlu gama a zase b. Dostaneš pak hezkou rovnici.

bejf · 11. 04. 2013 23:54

↑ Durix:
No hodím sem celý postup.
Máme tedy pravoúhlý trojúhelník s vrcholy ABC a stranami a, b, c, přičemž známe jen úhel $\alpha=60°30'$ a obsah $S=800cm^2$ .

Jako první využijeme toho, že se jedná o pravoúhlý trojúhelník, takže úhly známe vlastně dva, tudíž můžem dopočítat třetí (jistě víme, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku dává vždy 180°).
Známe tedy už tři úhly - $\alpha=60°30', \beta=90°, \gamma=29°30'$ .

Jenže potřebujeme zjistit strany. Víme sice úhly, ale pak ani jednu stranu, pouze obsah. Co s tím?

Pokud budeme brát v potaz trojúhelník s vrcholy ABC, stranami a, b, c, s pravým úhlem $\sphericalangle ABC$ , tak máme vzorec pro obsah pravoúhlého trojúhelníka:
$S=\frac{a\cdot c}{2}$

Nyní použijeme pro ilustraci takový obrázek - co na tom, že se mi nepovedl, hlavní je, že na vysvětlení postačí.

Z definice funkce sinus (dokazuje se spíš až ve středoškolské matematice) platí $sin\alpha=\frac{a}{b}$ .
Stejně tak to provedeme pro úhel $\gamma$ , známe jeho velikost, tak ji využijeme. $sin\gamma=\frac{c}{b}$

Nyní když se podíváme na vyjádření funkce sinus úhlů $\alpha,\gamma$ , tak si můžeme všimnout, že lze ekvivalentní úpravou vyjádřit $a$ takto $a=sin\alpha\cdot b$ , stejně tak i lze vyjádřit $c$ takto $c= sin\gamma \cdot b$ a dosadit tyto dva součiny do vzorečku pro obsah pravoúhlého trojúhelníku místo $a$ a $c$ .

Potom tedy dostaneme:
$S=\frac{a\cdot c}{2}=\frac{sin\alpha\cdot b \cdot sin\gamma \cdot b}{2}=\frac{b^2\cdot sin60°30'\cdot sin29°30'}{2}=\frac{b^2\cdot 0,8703\cdot 0,4924}{2}=\frac{b^2\cdot 0,42853572}{2}$

Dopracovali jsme se až k tomuto. Známe obsah, za něj jen dosadíme a celkově ve výrazu máme jen jednu proměnnou, takže se blýská na lepší časy.

Nyní provedeme následující úpravy:
a) zbavíme se zlomku na levé straně, takže vynásobíme celou rovnici dvěma

$800=\frac{b^2\cdot 0,42853572}{2}$ /.2
$1600=b^2\cdot 0,42853572$

b) potřebujeme osamostatnit proměnnou b^2, takže celou rovnici vydělíme číslem $0,42853572$
$1600=b^2\cdot 0,42853572$ / :0,42853572
$\frac{1600}{0,42853572}= b^2\nl 3733,64=b^2$

c) odmocníme
$3733,64=b^2$ $/\sqrt{}$
$b\doteq 61,1$

Máme přeponu b o délce 61,1 cm. No jo, ale my chceme odvěsny. Vrátíme se opět k vyjádřeným stranám $a, c$ pomocí funkce sinus.
$a=sin60°30' \cdot b=0,8703\cdot 61,1\doteq 53,2cm$
$c=sin29°30' \cdot b=0,4924\cdot 61,1\doteq 30,1cm$

Můžeme si to zpětně ověřit, a spočítat tak obsah, jestli bude dávat těch $800cm^2$ .
$S=\frac{a\cdot c}{2}=\frac{53,2\cdot 30,1}{2}=\frac{1601,32}{2}\doteq 800cm^2$

Poznámka: Tady je nutné být trochu benevolentní k tomu, že vyšlo trochu přes 800, neboť jsme počítali s přibližnými hodnotami funkcí sinus úhlů $\alpha,\gamma$ a také nám vyšly přibližné délky odvěsen a přepony. :-)

Praha505 · 12. 04. 2013 00:03

↑ bejf:

Pěkné a vyčerpávající vysvětlení, jen jsi mu to možná neměl až takto vypočítat celé, ale dát radu jak na to. :)

Durix · 12. 04. 2013 00:08

Oh, díky moc! :))
Vysvětlil jsi to úžasně, všechno jsem pochopil.
Jsem rád, že jsi to za mě i vypočítal, určitě mi ušetříš případné záseky.
Ještě jednou moc děkuju.

bejf · 12. 04. 2013 07:52

↑ Praha505:
To jsem původně taky zamýšlel, ale koneckonců na tom není nic špatného, pokud opravdu neví jak dál.
Hlavně když je v devítce a není si úplně jist, tak přece žádný učený z nebe nespadl.

Nicméně bylo by vhodné, kdyby ↑ Durix: zkusil spočítat i jiný podobný příklad a když si s ním nebude vědět rady, může si prohlédnout "vzorové" řešení tohoto příkladu a pokusit se napravit chybu v tom dalším.

A navíc píše, že to chápe. Což je hlavní účel této debaty.