Matematické Fórum

OndraVesely · 12. 04. 2013 12:27

Dobrý den,
Řeším $\int_{0}^{3}sgn(x-x^3)dx=\int_{0}^{1}sgn(x-x^3)dx+\int_{1}^{3}sgn(x-x^3)dx=?$
Nejsem si jisty jak to dale pocitat. Zkusil jsem to takhle:
$[sgn(x-x^3)]_0^1+[sgn(x-x^3)]_1^3=(sgn0-sgn0)+(sgn(-6)-sgn0)=0-0+(-1)+0=-1$

Je to tak spravne nebo je to nahoda ze to vyslo? D2kuju

found · 12. 04. 2013 12:44 — Editoval found (12. 04. 2013 12:44)

Ahoj,

jestli si dobře pamatuju, tak derivace funkce |x| je právě sign(x). Jako taková funkce sign(x) vypadá tak, že na kladných číslech má funkční hodnotu 1, na záporných -1.

$x - x^3 = -x(x^2 - 1) = -x(x-1)(x+1)$

Teda $x - x^3 = 0 \Leftrightarrow x\in\{-1,0,1\}$ a to je množina míry nula, takže se do integrálu nepromítne.

Celkově graf funkce vypadá následovně:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Takže je kladná na intervalu (0,1) a záporná na intervalu (1,3). To znamená, že ten integrál rozdělíš na dvě části

$\int_0^3 \text{sign}(x) dx = \int_0^1 dx - \int_1^3 dx = 1 - 2 = -1$

Inu, takhle bych to udělal já. Co se tvého výpočtu týče, tak určuješ přírůstek funkce signum, ale to si nemyslím, že je primitivní funkce k té samé funkci, takže si myslím, že je náhoda, že to tak vyšlo.

J.

vlado_bb · 12. 04. 2013 12:44

↑ OndraVesely:Nie je to spravne. Najprv si nakresli graf $x-x^3$ , z toho graf sgn (x) a potom je to uz len vecou obsahu obdlznika.

OndraVesely · 12. 04. 2013 13:14

↑ found:↑ vlado_bb:z toho grafu je mi to jasné. Děkuju

Matematické Fórum

#1 12. 04. 2013 12:27

Určitý integral s funkci signum

#2 12. 04. 2013 12:44 — Editoval found (12. 04. 2013 12:44)

Re: Určitý integral s funkci signum

#3 12. 04. 2013 12:44

Re: Určitý integral s funkci signum

#4 12. 04. 2013 13:14

Re: Určitý integral s funkci signum

Zápatí