Matematické Fórum

luko · 03. 01. 2009 14:09

Ahoj mam problem s temito radami

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\sum_{k%3D1}^{\infty}%20(-1)^k%20\frac{ksin^2k}{k^2%20%2B%201}$

Podarilo se mi zjistit ze limita vyrazu $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\sum_{k%3D1}^{\infty}%20%20\frac{k}{k^2%20%2B%201}%20*%20(-1)^k%20sin^2k$ jde k nule.
Pokud rada konverguje, limita vyrazu an = 0, opacne to ale rici nejde.

Mohl by mi s tim nekdo poradit?

Marian · 03. 01. 2009 15:44 — Editoval Marian (03. 01. 2009 15:45)

↑ luko:
Jedná se o alternující řadu (tedy - zjednodušeně - řadu s pravidelně se střídajícími se znaménky). První, co tě musí napadnout je aplikace Leibnizova kriteria. To ale použít nelze, protože pokud označíme
$a_k:=\frac{k}{k^2+1}\cdot\sin ^2k,\qquad k\in\mathbb{N},$
pak nebude platit $a_k\ge a_{k+1},\quad\forall k\in\mathbb{N}$ , i když $\lim_{k\to +\infty}a_k=0$ .

Je třeba použít Abelovo kriterium. Označíme
$A_k:=(-1)^k\cdot\frac{k}{k^2+1}\qquad\text{a}\qquad B_k:=\sin ^2k,\qquad\forall k\in\mathbb{N}.$
Pak řada
$\sum_{k=1}^{\infty}A_k=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot\frac{k}{k^2+1}$
konverguje podle Leibnizova kriteria (ověř samostatně) a posloupnost $\left\{ B_k\right\} _{K=1}^{\infty}$ je omezena (dokaž samostatně - snadné). Tedy podle zmiňovaného kriteria je řada
$\sum_{k=1}^{\infty}A_k\cdot B_k=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot\frac{k}{k^2+1}\cdot\sin ^2k$
konvergentní.

luko · 03. 01. 2009 16:07

↑ Marian:

Diky moc, dokazano ze konverguje :-)

luko · 03. 01. 2009 16:13 — Editoval luko (03. 01. 2009 16:13)

Potom jeste jedna rada

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\sum_{k%3D1}^{\infty}%20sin%20\pi\sqrt{k^2%2Bk}$

S touhle si nevim rady vubec.

lukaszh

↑ luko:
Pravdepodobne si myslel:
$a_k=\sin$\pi\sqrt{k^2+k}$$

luko · 03. 01. 2009 16:20

↑ lukaszh:
ano omlouvam se

Marian · 03. 01. 2009 16:22 — Editoval Marian (03. 01. 2009 16:30)

↑ luko:
Použije se následující trik:

Odtud je pro $k\in\mathbb{N}$

Ale platí
$\lim_{k\to\infty}\sin\left (\pi\sqrt{k^2+k}\right )=\lim_{k\to\infty}(-1)^k\cdot\sin\left (\frac{\pi k}{\sqrt{k^2+k}+k}\right )=\lim_{k\to\infty}(-1)^k.$
Limita tedy neexsistuje a tudíž není splněna ani nutná podmínka konvergence nekonečné řady.

luko · 03. 01. 2009 16:40

↑ Marian:

Za tim krat melo jeste neco byt?

luko · 03. 01. 2009 16:42

↑ luko:

pardon ja si nevsiml ze je to neco jako konec dukazu :-)

Marian · 03. 01. 2009 16:43 — Editoval Marian (03. 01. 2009 16:49)

↑ luko:
Je to tečka, nikoliv krát. Pravděpodobně ti schází toto
$\lim_{k\to\infty}(-1)^k\cdot\lim_{k\to\infty}\sin\left (\frac{\pi k}{\sqrt{k^2+k}+k}\right )=\lim_{k\to\infty}(-1)^k\cdot\sin\left (\pi\lim_{k\to\infty}\frac{k}{\sqrt{k^2+k}+k}\right )=\nl =\lim_{k\to\infty}(-1)^k\cdot\sin\left (\pi\cdot\frac{1}{2}\right )=\lim_{k\to\infty}(-1)^k.$

Rozdíl mezi tečkou a krát je tento (často splývá)
$\Large{A.B\qquad A\cdot B}$

luko · 03. 01. 2009 16:52

↑ Marian:

ten vyraz $http://www.matweb.cz/cgi-bin/mimetex.cgi?\opaque{}\sin\left%20(\frac{\pi%20k}{\sqrt{k^2+k}+k}\right%20)$ jde k jedne?

luko · 03. 01. 2009 16:53

↑ Marian:

diky

Marian · 03. 01. 2009 16:54 — Editoval Marian (03. 01. 2009 16:54)

↑ luko:
Napsal jsem ti to výše. Limita je rovna $\sin\left (\pi\cdot\frac{1}{2}\right )=\sin\frac{\pi}{2}=1$ . Musíš jen spočítat, že je
$\lim_{k\to\infty}\frac{k}{\sqrt{k^2+k}+k}=\frac{1}{2},$
ale to jistě zvládneš.

luko · 03. 01. 2009 16:58

↑ Marian:

jo to uz je v pohode. Diky moc.

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2009 14:09

Konvergence rad

#2 03. 01. 2009 15:44 — Editoval Marian (03. 01. 2009 15:45)

Re: Konvergence rad

#3 03. 01. 2009 16:07

Re: Konvergence rad

#4 03. 01. 2009 16:13 — Editoval luko (03. 01. 2009 16:13)

Re: Konvergence rad

#5 03. 01. 2009 16:17 — Editoval lukaszh (03. 01. 2009 16:18)

Re: Konvergence rad

#6 03. 01. 2009 16:20

Re: Konvergence rad

#7 03. 01. 2009 16:22 — Editoval Marian (03. 01. 2009 16:30)

Re: Konvergence rad

#8 03. 01. 2009 16:40

Re: Konvergence rad

#9 03. 01. 2009 16:42

Re: Konvergence rad

#10 03. 01. 2009 16:43 — Editoval Marian (03. 01. 2009 16:49)

Re: Konvergence rad

#11 03. 01. 2009 16:52

Re: Konvergence rad

#12 03. 01. 2009 16:53

Re: Konvergence rad

#13 03. 01. 2009 16:54 — Editoval Marian (03. 01. 2009 16:54)

Re: Konvergence rad

#14 03. 01. 2009 16:58

Re: Konvergence rad

Zápatí