Matematické Fórum

Ajka · 13. 04. 2013 09:22 — Editoval Ajka (13. 04. 2013 09:23)

Pomůže mi prosím někdo, jak integrovat tento výraz?
$e^{x} \cdot 3^{x} dx$
Děkuji.

MirekH · 13. 04. 2013 09:54

$e^x\cdot 3^x = (3e)^x$
Potom použij substituci
$(3e)^x = e^t$

Ajka · 13. 04. 2013 10:10

↑ MirekH:
Má to vyjít: $3e^{x} / 1 + ln3$

Podle toho, co jsi mi napsat: $(3e)^{x}$ bych použila vzorec V8 a vyšlo by mi to úplně stejně jako ten výsledek, ale bez té +1 ve jmenovateli. Tu nevím, jak tam dostat. Nenapadá tě něco prosím? Tento příklad je právě na tu úpravu integrantů, ne na substituci.

Ajka · 13. 04. 2013 10:13

Ten vzorec V8 říká: $a^{x} dx = a^{x} / lna$

MirekH · 13. 04. 2013 10:47 — Editoval MirekH (13. 04. 2013 10:50)

$(3e)^x = e^t$
$x(\ln 3 + 1) = t$
$(\ln 3 + 1)\mathrm{d}x = \mathrm{d}t$
$\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{1 + \ln 3}$

$\int e^x 3^x \mathrm{d}x = \int \frac{e^t}{1 + \ln 3} \mathrm{d}t = \frac{e^t}{1 + \ln 3} = \frac{e^x 3^x}{1 + \ln 3}$

Pozn.: Ten vztah V8 pouze říká, že to, co jsem počítal pomocí substituce, je vidět rovnou ze zadání. Takhle je to ale názornější.

Ajka · 13. 04. 2013 12:17

Aha, už rozumím. Děkuji.

A prosím ještě tento?

$(1+x)^{2}/(x*(1+x^{2}))$

Vím, že se to má nějak upravit na zlomky, ale když to roznásobím, tak tam mám x, x na druhou i x na třetí a nevím, jak dále postupovat.

Děkuji mockrát!

MirekH · 13. 04. 2013 12:41 — Editoval MirekH (13. 04. 2013 12:41)

$\frac{(1+ x)^2}{x(1 + x^2)} = \frac{1}{x(1 + x^2)} + \frac{2}{1 + x^2} + \frac{x}{1 + x^2}.$
Třetí zlomek je logaritmus, druhý zlomek je arkus tangens. První zlomek rozložíme na parciální zlomky, dostaneme
$\frac{1}{x(1 + x^2)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1 + x^2}$ ,
což jsou opět logaritmy.

Matematické Fórum

#1 13. 04. 2013 09:22 — Editoval Ajka (13. 04. 2013 09:23)

Integrál

#2 13. 04. 2013 09:54

Re: Integrál

#3 13. 04. 2013 10:10

Re: Integrál

#4 13. 04. 2013 10:13

Re: Integrál

#5 13. 04. 2013 10:47 — Editoval MirekH (13. 04. 2013 10:50)

Re: Integrál

#6 13. 04. 2013 12:17

Re: Integrál

#7 13. 04. 2013 12:41 — Editoval MirekH (13. 04. 2013 12:41)

Re: Integrál

Zápatí