Matematické Fórum

boruuf · 13. 04. 2013 23:31

Dobrý večer,

Našel jsem 2 příklady s posloupností v rovnici a vůbec nemám tušení, jak se tenhle typ příkladů řeší.

Jestli můžu poprosit, nakopnout mě u toho jednoho příkladu, jak postupovat... ten druhý už zvládnu sám:)

Př.: Řešte v R rovnici $\frac{8}{x+10}=\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{3}{x})^{n-1}$

Předěm děkuji za pomoc.

Arabela · 14. 04. 2013 07:17

Ahoj ↑ boruuf:,
v danej rovnici máš na pravej strane súčet nekonečného geometrického radu. Rovnica má riešenie iba vtedy, keď tento súčet existuje (keď jeho kvocuent je v absolútnej hodnote menší ako jedna). Za tohoto predpokladu možno pre pravú stranu použiž vzorec $a=\frac{a_{1}}{1-q}$ a rovnicu riešiť.
Súčet na pravej strane je
$s=1+(-\frac{3}{x}) +(-\frac{3}{x})^{2}+(-\frac{3}{x})^{3}+ ...$
Platí teda $a_{1}=1, q=-\frac{3}{x}$
Podmienka konvergencie radu je $|-\frac{3}{x}|<1$ , čiže $|\frac{3}{x}|<1$ , čiže $\frac{3}{|x|}<1$ , čiže $|x|>3$ .
Súčet radu za predpokladu splnenia podmienky konvergencie je
$s=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{1}{1-(-\frac{3}{x})} =\frac{1}{1+\frac{3}{x}}=\frac{x}{x+3}$
Treba vyriešiť rovnicu s touto pravou stranou a zohľadniť obor konvergencie.

boruuf · 14. 04. 2013 12:44

↑ Arabela:

Ahoj,

Moc děkuju za vysvětlení..

podle tohoto postupu mi vyšly kořeny rovnice
$x_{1}=-6$
$x_{2}=4$
tudíž splňují podmínku konvergenzce, kde jejich absolutní hodnoty mají být větší než 3.

Druhý příklad jsem dělal podle stejného postupu.. jestli můžu poprosit jenom o ověření výsledků...
Př.: $\sum_{n=1}^{\infty } (\frac{2}{x})^{n-1} =\frac{4x-3}{3x-4}$
kořeny rovnice:
$x_{1}=1$
$x_{2}=6$
S tím, že $x_{1}$ nesplňuje podmínku konvergence, která je $|x|>2$

Ještě jednou děkuji za podrobný postup.