Matematické Fórum

souteh · 13. 04. 2013 23:44

Ahoj, jsem zoufalý z následujícího příkladu. Ať počítám, jak počítám, pořád mi vychází $\frac{\sqrt{2}}{2}$

má se zjistit imaginární část:

$(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})^{31}$

mohli byste to prosím rozepsat? Moc dík.

nejsem_tonda

Ahoj,
$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{31} = \left(\cos\left(\frac34\pi\right) + i\sin\left(\frac34\pi\right)\right)^{31}$

Podle Moivreovy vidime, ze osma mocnina tohoto cisla je cislo 1+0i, takze i 32.mocnina je jedna, ale my se potrebujeme o jednu mocninu vratit, takze spocteme
$\left(\cos\left(\frac34\pi\right) + i\sin\left(\frac34\pi\right)\right)^{31} = \left(\cos\left(\frac34\pi\right) + i\sin\left(\frac34\pi\right)\right)^{-1}=\cos\left(-\frac34\pi\right) + i\sin\left(-\frac34\pi\right)=-\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}$

Nebo ti vychazi neco jineho?

souteh · 14. 04. 2013 09:32

Tenhle převod trošku nechápu. Já normálně spočítal abs.hodnotu toho komp.čísla, vyšlo mi 1. No a pak jsem si podle jednotkové kružnice našel úhel (koef.jsou stejné, takže je to pi/4, ale cos je záporný a sin kladný, takže je to ve 2.kvadrantu, tedy 3pi/4).

Z toho pak mám:

$1^{31}(cos\frac{31.3\pi}{4}+i.sin \frac{31.3\pi}{4})$

Je tam někde chyba??

bejf · 14. 04. 2013 10:30 — Editoval bejf (14. 04. 2013 10:35)

↑ souteh:
Ahoj. Chybu tam podle mě nemáš. Protože $1^{31}(cos\frac{31.3\pi}{4}+isin \frac{31.3\pi}{4})=$cos\frac{93}{4}\pi+isin \frac{93}{4}\pi $$
Pak využijme, že obě funkce mají periodu $2\pi$ , takže dělením 93 čtyřkou můžeme dostat jen číslo, které je násobkem dvojky,
tj. sudé číslo, čímž z $\frac{93}{4}\pi$ dostáváme $\frac{5}{4}\pi + 22\pi$ a díky té periodě je to vlastně stejné, jako $\frac{5}{4}\pi$ .

Pak máme číslo ve tvaru $$cos\frac{5}{4}\pi+isin \frac{5}{4}\pi $$ což je to samé, jako psal ↑ nejsem_tonda:. Snad už zvládneš.

Matematické Fórum

#1 13. 04. 2013 23:44

Imag.část komp.čísla

#2 14. 04. 2013 01:54 — Editoval nejsem_tonda (14. 04. 2013 01:55)

Re: Imag.část komp.čísla

#3 14. 04. 2013 09:32

Re: Imag.část komp.čísla

#4 14. 04. 2013 10:30 — Editoval bejf (14. 04. 2013 10:35)

Re: Imag.část komp.čísla

Zápatí