Matematické Fórum

Mrfiluta · 13. 04. 2013 16:54

Zdravím,
potřeboval bych poradit s integrálem:

$\int_{}^{}\frac{sinx*cosx}{sinx+cosx}dx$

Zkoušel jsem substituci $\text{tg}\frac{x}{2}=u$ kde mi vyjde pro dosazení
$\sin x = \frac{2u}{u^{2}+1}$ a
$\cos x=\frac{1-u^{2}}{u^{2}+1}$
jenže po dalším počítání, kde se dostanu k parciálním zlomkům to začíná být ošklivé a nejsem schopen vyřešit ty další integrály. Je to správný postup, nebo na to jde jít i jinak a jednodušeji?

Díky moc :)

martisek · 13. 04. 2013 17:22

↑ Mrfiluta:

ta substituce je "univerzální", takže by to jít mělo. Dost často pomůže i jiná substituce nebo třeba úprava integrandu, ale v tomto případě mě tedy nic nenapadá.

jarrro · 13. 04. 2013 17:53

$\frac{\sin{x}\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}=\frac{\sin{x}\cos{x}$\cos{x}-\sin{x}$}{\cos^2{x}-\sin^2{x}}=\nl =\frac{\sin{x}\cos^2{x}-\sin^2{x}\cos{x}}{\cos^2{x}-\sin^2{x}}=\frac{\cos^2{x}\sin{x}}{2\cos^2{x}-1}-\frac{\sin^2{x}\cos{x}}{1-2\sin^2{x}}$

Jj · 14. 04. 2013 12:41 — Editoval Jj (14. 04. 2013 12:41)

Nebo podobně:

$\frac{\sin{x}\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}=\frac{\sin{x}\cos{x}\(\cos{x}+\sin{x})}{(\cos{x}+\sin{x})^2}=$ $\frac{\sin{x}\cos{x}\(\cos{x}+\sin{x})}{(1+2\sin{x}\cos{x})}$
a po substituci: sinx - cosx = z; sinxcosx = (1 - z^2)/2; (cosx + sinx)dx = dz
spočítat jeden integrál $\frac{1}{2}\int \frac{1-z^2}{2-z^2}dz$ Snad jsem se nespletl.

Matematické Fórum

#1 13. 04. 2013 16:54

Neurčitý integrál

#2 13. 04. 2013 17:22

Re: Neurčitý integrál

#3 13. 04. 2013 17:53

Re: Neurčitý integrál

#4 14. 04. 2013 12:41 — Editoval Jj (14. 04. 2013 12:41)

Re: Neurčitý integrál

Zápatí