Matematické Fórum

Sajmon9114 · 14. 04. 2013 15:59

Ahoj, řeším příklad na hledání maxima a minima funkce tří proměnných, ale zasekl jsem se v bodě, kde používám Lagrangeovy multiplikátory. Část věty o těchto multiplikátorech říká, že gradienty vazeb jsou lineárně závislé, já mám ale trochu problém s tím, jak to ověřit. Gradienty vyšly následovně: $\nabla g=(2x,2y,2z),\nabla h=(2x,2y,-2z)$ . Myslel jsem si, že je nutné jen vyřešit soustavu $2x=k\cdot 2x,2y=k\cdot 2y,2z=k\cdot (-2z)$ a následně $2x(1-k)=0,2y(1-k)=0,2z(1+k)=0$ , pak pro $k=1$ mi vyjde $z=0$ a z vazby dopočítám x a y, stejně tak pro $k=-1$ . Ale v jedné učebnici jsem ještě našel podmínku, že $\alpha (2x,2y,2z)+\beta (2x,2y,-2z)=o$ , ze které by měla vyplývat jednak ta "moje" teze, že jeden vektor je násobkem druhého, ale při jejím nesplnění ještě jiná podmínka, a to ta, že $(2x,2y,-2z)=o$ . Jak se na tuhle druhou podmínku přijde? Není mi to úplně jasné... Předem díky za rady :)

martisek · 14. 04. 2013 16:47

Ahoj,

vektory jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když hodnost matice sestavené z jejich souřadnic je rovna počtu vektorů. Vektory $\nabla g=(2x,2y,2z),\nabla h=(2x,2y,-2z)$ budou tedy lineárně nezávislé právě tehdy, když

$h \left(\begin{array}{ccc} 2x & 2y & 2z \\ 2x & 2y & -2z \\ \end{array}\right) =2$

Sajmon9114 · 14. 04. 2013 16:57

Takže pokud to správně chápu, abych zjistil body $[x,y,z]$ podezřelé z extrému, musím paramatricky vyřešit hodnost matice $\left(\begin{array}{ccc} 2x & 2y & 2z \\ 0 & 0 & -4z \\ \end{array}\right)$ tak, aby se rovnala dvěma. Ale jak to prakticky udělat, když je tam těch parametrů tolik? :D

martisek

↑ Sajmon9114:

Nemusíš už nic dělat - hodnost je rovna dvěma právě tehdy, když z<>0. Když je z=0, je poslední řádek nulový, hodnost je jedna a vektory jsou lineárně závislé.

Jinak - mají-li být lineárně závislé dva vektory, musí být jeden násobkem druhého. První dvě složky jsou v našem případě stejné ("jednonásobek"), aby byly vektory lineárně závislé, musí být stejná i třetí složka. A to je možné pouze tehdy, když z=0.

Sajmon9114 · 14. 04. 2013 17:38

Takže v zásadě na to můžu jít dvěma způsoby, buď si napíšu matici, upravím ji do schodovitého tvaru a potřebuju, aby její hodnost byla menší než je počet vektorů, v tomhle případě tedy musí být $z=0$ . Nebo vezmu soustavu $2x=k\cdot 2x,2y=k\cdot 2y,2z=k\cdot (-2z)$ , z prvních dvou rovnic je jasné, že nutně $k=1$ a tedy aby byly vektory lineárně závislé, musí platit $2z=1\cdot (-2z)$ , což platí jen tehdy, když $z=0$ .

JohnPeca18 · 14. 04. 2013 17:52

Jo takhle to plati. Pro vic nez 2 vektory je uz docela blbe zjistovani nezavislosti takhle rucne.
vektory $v_1,\dots, v_n$ jsou linearne zavisle pokud existuju koeficienty $a_i$ , ne vsechny nulove, takove ze $\sum_{i=1}^na_iv_i=0$ .
Jo, ja len este vstup ze zamyslenim, co kdyz x=y=0 a $z\in R$ . Tehdy si myslim, ze to budou taky zavisle vektory. Pretoze budou nasobkem jedneho druhym a taky v matici se da vynulovat jeden radek.

Sajmon9114 · 14. 04. 2013 17:57

No já si myslím, že když vezmeš $x=y=0,z\in \mathbb{R}$ , tak se ti žádnej řádek nevynuluje, to by z muselo být taky nula, ale pak by to byla triviální lineární kombinace, ne?

martisek · 14. 04. 2013 17:58

↑ JohnPeca18: ↑ Sajmon9114:

"co kdyz x=y=0 a . Tehdy si myslim, ze to budou taky zavisle vektory..."

Jasně, na to jsme v tom obecném "písmenkovém" vyjádření trochu pozapomněli, pak bude v té matici

$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 2z \\ 0 & 0 & -4z \\ \end{array}\right)$

a je jasné, že hodnost je taky jedna (ten druhý řádek se zlikviduje velmi snadno).

Sajmon9114 · 14. 04. 2013 18:00

A jo, to je vlastně pravda, omlouvám se :D

Sajmon9114 · 14. 04. 2013 18:01

A díky oběma! :)

Matematické Fórum

#1 14. 04. 2013 15:59

Lineární závislost vektorů

#2 14. 04. 2013 16:47

Re: Lineární závislost vektorů

#3 14. 04. 2013 16:57

Re: Lineární závislost vektorů

#4 14. 04. 2013 17:05 — Editoval martisek (14. 04. 2013 17:11)

Re: Lineární závislost vektorů

#5 14. 04. 2013 17:38

Re: Lineární závislost vektorů

#6 14. 04. 2013 17:52

Re: Lineární závislost vektorů

#7 14. 04. 2013 17:57

Re: Lineární závislost vektorů

#8 14. 04. 2013 17:58

Re: Lineární závislost vektorů

#9 14. 04. 2013 18:00

Re: Lineární závislost vektorů

#10 14. 04. 2013 18:01

Re: Lineární závislost vektorů

Zápatí