Matematické Fórum

luko · 03. 01. 2009 19:53

Ahoj, mam takovy hloupy dotaz, pokud mam vyraz typu

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=(\frac{2k%2B100}{3k%20%2B%201})^k$

mohu pod nim udelat upravu typu

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=(\frac{2%2B\frac{100}{k}}{3%20%2B%20\frac{1}{k}})^k$

Diky moc

Pavel Brožek

Pokud je k různé od nuly, pak ano. Když čitatele i jmenovatele vydělíš k, je to jako když celý zlomek násobíš

$\frac{\,\frac{1}k\,}{\,\frac{1}k\,}$ ,

to je ale rovno jedné, nic jsi tedy se zlomkem neudělal.

luko · 03. 01. 2009 20:03 — Editoval luko (03. 01. 2009 20:04)

↑ BrozekP:

takze po vykraceni je tento zlomek pro k jdouci k nekonecnu (2/3)^k coz jde k nule

Pavel Brožek · 03. 01. 2009 20:23

Výsledek je dobře, ale obávám se, že tvůj postup není správný. Pokud bys měl vypočítat limitu

$\lim_{k\to\infty}$\frac{2k+100}{2k+1}$^k$

tak bys řekl, že to je 1 nebo $e^{\frac{99}{2}}$ ?

luko · 03. 01. 2009 20:28 — Editoval luko (03. 01. 2009 20:32)

↑ BrozekP:

1 to bude ale asi dle zneni otazky spatne.
jak mam teda postupovat spravne?

Pavel Brožek

↑ luko:

Je vhodné to převést základ mocniny do exponentu:

$\lim_{k\to\infty}$\frac{2k+100}{3k+1}$^k=\lim_{k\to\infty}\textrm{e}^{k\ln$\frac{2k+100}{3k+1}$}$

Teď se spočítá limita exponentu a nakonec se použije věta o složené funkci, abychom se vrátili k původní limitě.

$\lim_{k\to\infty}k\ln$\frac{2k+100}{3k+1}$=\lim_{k\to\infty}k\ln$\frac{2+\frac{100}{k}}{3+\frac1k}$=\ln$\frac23$\cdot\lim_{k\to\infty}k=\ln$\frac23$\cdot(+\infty)=-\infty$

(použil jsem větu o limitě součinu a změna znaménka na konci je dána tím, že logaritmus je v 2/3 záporný)

Vrátíme se k původní limitě

$\lim_{k\to\infty}$\frac{2k+100}{3k+1}$^k=\lim_{l\to-\infty}\textrm{e}^{l}=0$

Pokud jsi nejprve udělal limitu závorky a pak to mocnil na k, a udělal znovu limitu, není to správný postup, neodpovídá to žádné větě.

luko · 03. 01. 2009 20:41

diky moc, tohle je hodne uzitecne vedet

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2009 19:53

uprava limity pod mocninou

#2 03. 01. 2009 19:57 — Editoval BrozekP (03. 01. 2009 19:58)

Re: uprava limity pod mocninou

#3 03. 01. 2009 20:03 — Editoval luko (03. 01. 2009 20:04)

Re: uprava limity pod mocninou

#4 03. 01. 2009 20:23

Re: uprava limity pod mocninou

#5 03. 01. 2009 20:28 — Editoval luko (03. 01. 2009 20:32)

Re: uprava limity pod mocninou

#6 03. 01. 2009 20:36 — Editoval BrozekP (03. 01. 2009 20:38)

Re: uprava limity pod mocninou

#7 03. 01. 2009 20:41

Re: uprava limity pod mocninou

Zápatí