Matematické Fórum

bejf · 14. 04. 2013 23:49

Ahoj. Trochu mě trápí jeden výraz, který bych měl vyjádřit v jiném tvaru.

Výraz $2^{12} \cdot cos^{12} \frac{\pi}{8}$ mám ji vyjádřit ve tvaru $8(1+\sqrt{2})^6$

pomocí $|cos\frac{1}{2}\alpha|=\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}$ , ale nějak se mi to nedaří. Děkuji za rady.

found · 14. 04. 2013 23:57 — Editoval found (14. 04. 2013 23:57)

Ahoj,

zvládl by sis předtavit, že $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{8}$ a potom už pokračovat sám?

Možná by se hodilo vědět, že dvanáctá mocnina je mocnina sudá, a tak bude $\cos^2\pi/8$ číslo nezáporné, tedy

$\cos^{12}\left(\frac{\pi}{8}\right) = \left|\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\right|^{12}$

bejf · 15. 04. 2013 00:12 — Editoval bejf (15. 04. 2013 00:12)

↑ found:
Ahoj.
Jo to je mi jasné, ale spíše mě netrklo to s tou sudou mocninou. Takže
$\left|cos\frac{\pi}{8}\right|^{12}=$\sqrt{\frac{1+cos\frac{\pi}{4}}{2}}$^{12}$ ?

A co ta dvojka?

found · 15. 04. 2013 00:17

↑ bejf:

a když si rozepíšeš $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , stále to nepůjde?

bejf · 15. 04. 2013 00:29

↑ found:
Jo samozřejmě, zapomněl jsem.
$$\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$^{12}=$\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}$^{12}=$\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2^2}}$^{12}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}^{12}}{{2^{12}}}$

found · 15. 04. 2013 00:37 — Editoval found (15. 04. 2013 00:39)

↑ bejf:

Inu, takže $2^{12}$ už zkrátit dokážeme, teď je otázka jen úpravy dalšího výrazu. :)

$\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)^{12} = \left(2+\sqrt{2}\right)^6 = \left(\sqrt{2}\left(1+\frac{2}{\sqrt{2}}\right)\right)^6 = (\sqrt{2})^6\left(1+2^{1-\frac{1}{2}}\right)^6 = 2^3(1+\sqrt{2})^6 = 8(1+\sqrt{2})^6$

Napsal jsem ti řešení, protože už popádím spát, tak aby ses měl/a od čeho odrazit. :)

Dobrou noc a hodně štěstí,
J.

bejf · 15. 04. 2013 00:49 — Editoval bejf (15. 04. 2013 00:50)

↑ found:
Jo tak. Já jsem si nebyl právě jist jak to ze začátku napsat.
Takže by to vypadalo takhle.
$2^{12} \cdot cos^{12} \frac{\pi}{8}=2^{12}\left|cos\frac{\pi}{8}\right|^{12}=2^{12}$\sqrt{\frac{1+cos\frac{\pi}{4}}{2}}$^{12}\nl=2^{12}$\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$^{12}=2^{12}$\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}$^{12}= 2^{12}$\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2^2}}$^{12}\nl =2^{12}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}^{12}}{{2^{12}}}=\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)^{12} = \left(2+\sqrt{2}\right)^6 \nl= \left(\sqrt{2}\left(1+\frac{2}{\sqrt{2}}\right)\right)^6 = (\sqrt{2})^6\left(1+2^{1-\frac{1}{2}}\right)^6=8(1+\sqrt{2})^6$

Měls tam tuším blbě znaménko na konci a ty dva poslední výpočty už jsou zbytečné, ale nevadí. Mockrát děkuji za pomoc a za tvůj čas. :-)

found · 15. 04. 2013 00:53

↑ bejf:

Tak ještě tu jsem nakonec. Yep, ten postup máš dobře. Jinak znaménka jsem si hned opravil, divím se, že's to stihl postřehnout :)

Matematické Fórum

#1 14. 04. 2013 23:49

Úprava goniometrického výrazu

#2 14. 04. 2013 23:57 — Editoval found (14. 04. 2013 23:57)

Re: Úprava goniometrického výrazu

#3 15. 04. 2013 00:12 — Editoval bejf (15. 04. 2013 00:12)

Re: Úprava goniometrického výrazu

#4 15. 04. 2013 00:17

Re: Úprava goniometrického výrazu

#5 15. 04. 2013 00:29

Re: Úprava goniometrického výrazu

#6 15. 04. 2013 00:37 — Editoval found (15. 04. 2013 00:39)

Re: Úprava goniometrického výrazu

#7 15. 04. 2013 00:49 — Editoval bejf (15. 04. 2013 00:50)

Re: Úprava goniometrického výrazu

#8 15. 04. 2013 00:53

Re: Úprava goniometrického výrazu

Zápatí