Matematické Fórum

nicnevím · 15. 04. 2013 16:08

Ahoj,
mohli byste mi, prosím, osvětlit proč není funkce $f(x)=|x|$ v bodě $O [0,0]$ derivovatelná. Chápu, že problémem je, že nelze asi určit směrnici tečny, je tam moc možností (laicky řečeno). Ale potřeboval bych to vysvětlit třeba na základě výpočtu, ukázat, jak bych tu tečnu vlastně počítal. To lze asi jedině s pomocí vzorce pro tečnu $y-y_{0}=f(x_{0})(x-x_{0})$ (f je derivace v tom bodě).
Další graf má u mě ten stejný problém.

Proč nemůžu udělat tečnu v bodě $T_{3}$ , když v bodě $T_{2}$ to lze? Je to tedy dáno tím, že ta "špička je prostě jeden bod, k němuž lze směřovat teny s mnoha směrnicemi? A u toho bodu $T_{2}$ to nelze, protože, každá jiná směrnice bude odpovídat jiné tečně v jiném bodě? Nezkusil byste mi to, prosím, někdo ukázat výpočtem? Já nechápu, jak vůbec můžu tu tečnu udělat třeba v místě průsečíků funkce s osou x. ...
Děkuji za případné věnování vašeho času.

Rumburak

Ahoj.

1) Problém s neexistencí derivace funkce $f(x) := |x|$ v bodě $x=0$ .

Spočteme v bodě $0$ zvlášť derivaci zprava a zleva. Budeme postupovat z definice jednostranné derivace.

$f'_{+}(0) = \lim_{h\to 0_{+}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0_{+}} \frac{|h|}{h}= \lim_{h\to 0_{+}} \frac{h}{h}= 1$ ,

$f'_{-}(0) = \lim_{h\to 0_{-}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0_{-}} \frac{|h|}{h}= \lim_{h\to 0_{-}} \frac{-h}{h}= -1$ ,

jednostranné derivace v 0 existují, ale liší se hodnotou , takže oboustranná derivace neexistuje.

2) U té druhé úlohy půjde nejspíš o to, že v krajním bodě intervalu rovněž nemůže existovat oboustranná derivace
(pokud jsem správně pochopil ne zcela jasné zadání).

nicnevím · 15. 04. 2013 18:05

↑ Rumburak:
Děkuji, ještě si o tom něco přečtu a pokusím se projít hlouběji, a pak se ještě třeba zeptám. :-)

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2013 16:08

Proč není funkce derivovatelná?

#2 15. 04. 2013 16:36 — Editoval Rumburak (15. 04. 2013 16:38)

Re: Proč není funkce derivovatelná?

#3 15. 04. 2013 18:05

Re: Proč není funkce derivovatelná?

Zápatí