Matematické Fórum

peena · 03. 01. 2009 23:50 — Editoval peena (03. 01. 2009 23:57)

↑↑ unique:
↑↑ polerok:

Hlavně nezapomeň, že je to rovnice a ta je celá položená nule. V tom tvaru jak jsi to napsal je to kubická rovnice a ta se sama o sobě počítá poměrně komplikovaně.
Proto při převodech dbej spíše na to, aby ses dopracoval buď k lineární rovnici a nebo kombinaci lineární a kvadratické rovnice, ze které budou hned patrné kořeny této rovnice a v tomto případě tudíž všechna vlastní čísla.
Podívej se třeba na tento příklad:

tohle je kubická rovnice: $-\lambda^3+3\lambda^2+9\lambda-27=0$
tohle kombinace kvadratické a lineární rovnice: $(3-\lambda)(\lambda^2-9)=0$
a tohle pouze lineární rovnice: $(3-\lambda)(\lambda+3)(\lambda-3)=0$

Všechny tyto rovnice jsou ekvivalentní, rozdíl je jen ve složitosti zjištění kořenů.
Zatímco k tomu, abys zjistil, že kořeny jsou 3,-3,3 ti u lineární rovnice stačí pouhý pohled, ke stejnému zjištění dvou posledních kořenů z kvadratické rovnice potřebuješ znát vzorec a umět vypočítat diskriminant (některým taky stačí jen pohled). Spočítat to samé z kubické rovnice užitím třeba Cardanova vzorce už vydá mnohem větší práci ....

Takže proč si komplikovat život ....

polerok · 04. 01. 2009 00:04

↑ peena:

A jak bys to prosím vyjádřil pro ten můj? páč 25 a 3 spolu moc dělitelné nejsou :-(

peena · 04. 01. 2009 00:29

K té kubické rovnici ses musel nějak dopracovat ... takže tu hoď spíše to

polerok · 04. 01. 2009 00:51

↑ peena:

Aplikací Sarussova pravidla na tuhle matici.

peena · 04. 01. 2009 08:25 — Editoval peena (04. 01. 2009 08:28)

↑ polerok:

Dobře, pokud jsi počítal pomocí Sarussova pravidla, dostal ses k něčemu takovému:

$(5-\lambda)((1-\lambda)(3-\lambda)-(\sqrt8\sqrt8))=0$
$(5-\lambda)(3-\lambda-3\lambda+\lambda^2-8)=0$
A potom k tomuto:
$(5-\lambda)(\lambda^2-4\lambda-5)=0$
Což je náš požadovaný stav.
Takže jsme se šikovně vyhnuli kubické rovnici a navíc pouhým pozorováním vidíme, že první kořen musí být nutně 5. Zbývá nám už pouze výpočtem kvadratické rovnice zjistit zbývající 2 kořeny.
$\lambda_2=\frac{4+\sqrt36}{2}=5$
$\lambda_3=\frac{4-\sqrt36}{2}=-1$
Kořeny rovnice a v tomto případě všechna vlastní čísla této matice jsou:
$\lambda_1_2=5;\ \lambda_3=-1$

petrk · 04. 01. 2009 10:59

Nevím si rady s příkladem

Vypočítejte spektrální rozklad matice :

1 -1 -1
-1 1 -1
-1 -1 1

finch.cz

Potřeboval bych poradit, kde dělám chybu při zjišťování vlastních čísel a vektorů, potřebuju udělat spektrální rozklad, tak to dávám tady.

$\begin{vmatrix} -2-\lambda & 0 & 1 \nl 0 & 13-\lambda & 0 \nl 1 & 0 & -2-\lambda \end{vmatrix}$

vychází mi

$\lambda^2 + 12\lambda + 13$

potom ale dělá problém nalézt vlastní čísla, jelikož mi to vychází špatně. správná vlastní čísla jsou 13, -1 a 3 plus vlastní vektory |0,1,0|, |1,0,1|, |1,0,-1|

kde mám prosím chybu?

polerok · 04. 01. 2009 17:03

↑ peena:

Díky.

Neporadil by mi prosím ještě někdo, jak z toho nějak normálně vytřískat ty vlastní čísla? vychází mi totiž odmocnina pod odmocninou a pak se s tím nedá moc dobře pracovat, přitom by to mělo vycházet "hezky"
Moc díky.

peena · 04. 01. 2009 17:06 — Editoval peena (04. 01. 2009 17:08)

↑ finch.cz:

Já to počítal a vyšlo mi:

$(13-\lambda)(\lambda^2+4\lambda+3)=0$

A z toho krásně vychází 13,-1,-3

Takže chybně sestavená charakteristická rovnice.

peena · 04. 01. 2009 17:15 — Editoval peena (04. 01. 2009 17:16)

↑ polerok:

Trošku nechápu, skoro kompletní výpočet vlastních čísel jsem ti napsal, ale pokud jsi měl na mysli vlastní vektory, tak máš pravdu, že u jedné složky ze tří vlastních vektorů vychází

$-\frac{\sqrt2}{2}$

což ale není zase takový problém ...

polerok

↑ peena:

Jo, myslel jsem vlastní vektory. Hmm, tak ale nevím, počítal jsem to 2x a pokaždé mi vyšlo (od8*t)/4 což už tak super není...

pro kontrolu. S kořenem 5

$-4; 0; \sqrt8;$
$0; 0; 0;$
$0; 0; 0;$

S kořenem -1

$2; 0; \sqrt8;$
$0; 1; 0;$
$0; 0; 0;$

peena · 04. 01. 2009 17:58 — Editoval peena (04. 01. 2009 18:00)

↑ polerok:

Možná tě trkne tohle (matematika základní školy):

$\frac{\sqrt8}{2}=\sqrt2$

polerok · 04. 01. 2009 18:00

↑ peena:

Jo díky, už mi to došlo :-D Ono totiž když už se v tom motáš a motáš, tak pak už se z toho nevymotáš. Konečně jsem to dopočítal, tak už dám pokoj :-)

Každopádně moc díky!

unique · 04. 01. 2009 22:57

↑ peena:
a jak by jsi prosím spočítal kořeny tady z toho co mi vyšlo ?
$\lambda^3-3\lambda^2+\lambda+1$
zadání bylo: Najděte spektrální rozklad matice

předem díky

jelena · 05. 01. 2009 00:09

↑ unique:

Zdravím :-)

jeden kořen zjistiš "odhadem" - zkus za L dosazovat něco jednoduchého (1, -1, 0, 2 -2....) - zde se hodí 1 - to je první kořen. Teď provedeš dělení mnohočlenu $(\lambda^3-3\lambda^2+\lambda+1):(\lambda-1)=(\lambda^2-2\lambda -1)$ a rozklad kvadratického trojčlenu.

OK?

davedino

Mam zadanou tuto matici a za ukol provest spektralni rozklad.

$\begin{vmatrix} -4 & 0 & -2\nl 0 & -4 & -2\nl -2 & -2 & -2 \end{vmatrix}$

jenze pri zjistovani vlastnich cisel my vychazi neco jineho nez sem zjistil tady Calculator for Eigenvalues and Eigenvectors
takze po odectu lambdy
$\begin{vmatrix} -4-\lambda & 0 & -2\nl 0 & -4-\lambda & -2\nl -2 & -2 & -2-\lambda \end{vmatrix}$
jsem ziskal toto
$(-4-\lambda)*((-4-\lambda)*(-2-\lambda)-4)+(-16-4\lambda)$
jedno vlastni cislo je jasne -4,dalsi dve jsem se snazil spocitat z kvadraticke rovnice
$\lambda^2+6\lambda+4=0$
no a pak vychazi koreny $-3+\sqrt{5}$ a $-3-\sqrt{5}$
Meli by vsak vychazet vlastni cisla 0,-4 a -6.Pokud by vtom nekdo nasel chybicku a poradil,byl bych velmi vdecny.Predem dekuji.
!!Vyreseno!!

unique · 05. 01. 2009 16:54

↑ jelena:
jo, super. Mockrát díky :)

finch.cz · 05. 01. 2009 18:59

peena napsal(a):
↑ finch.cz:

Já to počítal a vyšlo mi:

$(13-\lambda)(\lambda^2+4\lambda+3)=0$

A z toho krásně vychází 13,-1,-3

Takže chybně sestavená charakteristická rovnice.

mě to pořád vychází špatně. nevím jak dál

$\begin{vmatrix} -2-\lambda & 0 & 1 \nl 0 & 13-\lambda & 0 \nl 1 & 0 & -2-\lambda\end{vmatrix} = $-2-\lambda$*\begin{vmatrix} 13-\lambda & 0 \nl 0 & -2-\lambda \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 13-\lambda \nl 1 & 0 \end{vmatrix} = $-2-\lambda$ $-26-11\lambda+\lambda^2$ - $13 - \lambda $ = ???$

peena · 05. 01. 2009 21:46 — Editoval peena (05. 01. 2009 21:50)

Nechápu, proč to nepočítáš rozvojem pomocí druhého řádku(sloupce) ... ty nuly kolem $13-\lambda$ tě fakt neťukly do očí ?.)
Ten první kořen rovnice/vlastní číslo 13 tak bije přímo do očí :)
Fakt triviální záležitost, někteří kolegové s jiným zadáním to mají mnohem složitější ...

finch.cz · 06. 01. 2009 19:32

↑ peena:

ťuknout mě to ťuknulo, ale popravdě jsem nevěděl co s tím, protože chodím do práce a bohužel momentálně nemám moc času na studium samotné, tak se snažím učit kdy to jde. o rozvoji jsem třeba nic nevěděl, ale díky za radu, díky ní, jsem si to na internetu našel vysvětlené (matweb - matika polopatě :-) = díky) a díky tomu jsem to spočítal sttejně, jako ty. takže děkuju za radu, moc si ji vážím. teď mám ale zase problém, jak z toho výsledku spočítám vlastní čísla :-( stačí jen tu druhou část (je to přece kvadratická rovnice) vyřešit?

peena · 06. 01. 2009 20:33

↑ finch.cz:

Ano, stačí spočítat zbylé 2 kořeny kvadratické rovnice. Všechny 3 kořeny jsou pak vlastní čísla matice.

Samot · 07. 01. 2009 23:48

Zdravím, ještě jednou bych chtěl poprosit jestli by někdo nebyl tak hodný a ochoten co by spočítal tento spektralní rozklad, bohužel si vůbec nevím rady :-( a nikdo kdo má stejný příkal..musím to odevzdat do pátku abych měl zápočet a mohl ke zkoušce... vím je zbytečné jít ke zkoušce když to neumím :-D ale právě na víkend mám domluvení doučování, ale to mi bude zbytečné bez zápočtu. Tak díky moc pokud se na to někdo mrkne.

Samot · 08. 01. 2009 14:38

Tak už se mi konečně povedlo dostat k vlastním číslum ty jsou 6,3 a -2 ale ted mi nejdou zas upravit matice gausem abych dostal vlastní vektory.

finch.cz · 08. 01. 2009 19:05

asi jsem vážně deb!l, ale nevím, jak spočítat vlastní vektory mám například matici pro vlastní číslo -1

$\begin{vmatrix} -2-$-1$ & 0 & 1 \nl 0 & 13-$-1$ & 0 \nl 1 & 0 & -2-$-1$ \end{vmatrix} => \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \nl 0 & 14 & 0 \nl 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

a teď nevím, jak mám spočítat zbytek, tzn parametr (ten bude nejspíš x_3 = 0) zbytek nevím jak spočítat :-( trápím se s tím už přes hodinu a nemůžu na to přijít, prosím poraďte

mysteriouss

finch.cz napsal(a):
asi jsem vážně deb!l, ale nevím, jak spočítat vlastní vektory mám například matici pro vlastní číslo -1

$\begin{vmatrix} -2-$-1$ & 0 & 1 \nl 0 & 13-$-1$ & 0 \nl 1 & 0 & -2-$-1$ \end{vmatrix} => \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \nl 0 & 14 & 0 \nl 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

a teď nevím, jak mám spočítat zbytek, tzn parametr (ten bude nejspíš x_3 = 0) zbytek nevím jak spočítat :-( trápím se s tím už přes hodinu a nemůžu na to přijít, prosím poraďte

nevim jestli jsi pokrocil uz nebo ne ale taky jsem z toho prikaldu naky divny
vlastni cisla mi vysli jak maji... vektory mam pro x(lambda)=13;t*(15;1;0).. pro x=-1;t*(1;0;1).. a pro x=-3;t*(-1;0;1)

nasledne mi nevyjde zkouska... nemuzete nekdo poradit kde delam chybu? :(

Edit: Omlouvam se a jdu si 100x napsat za trest jsme blb a nez budu klast hloupe dotazy tak si 20x prodju to co mam spoctene jestli nenajdu chybu. Chyba byla ve vlastnim vektoru pro x=13. misto (15;1;0) to ma byt (0;1;0). :D

Matematické Fórum

#51 03. 01. 2009 23:50 — Editoval peena (03. 01. 2009 23:57)

Re: Spektrální rozklad matice

#52 04. 01. 2009 00:04

Re: Spektrální rozklad matice

#53 04. 01. 2009 00:29

Re: Spektrální rozklad matice

#54 04. 01. 2009 00:51

Re: Spektrální rozklad matice

#55 04. 01. 2009 08:25 — Editoval peena (04. 01. 2009 08:28)

Re: Spektrální rozklad matice

#56 04. 01. 2009 10:59

Re: Spektrální rozklad matice

#57 04. 01. 2009 16:37 — Editoval finch.cz (04. 01. 2009 16:40)

Re: Spektrální rozklad matice

#58 04. 01. 2009 17:03

Re: Spektrální rozklad matice

#59 04. 01. 2009 17:06 — Editoval peena (04. 01. 2009 17:08)

Re: Spektrální rozklad matice

#60 04. 01. 2009 17:15 — Editoval peena (04. 01. 2009 17:16)

Re: Spektrální rozklad matice

#61 04. 01. 2009 17:19 — Editoval polerok (04. 01. 2009 17:45)

Re: Spektrální rozklad matice

#62 04. 01. 2009 17:58 — Editoval peena (04. 01. 2009 18:00)

Re: Spektrální rozklad matice

#63 04. 01. 2009 18:00

Re: Spektrální rozklad matice

#64 04. 01. 2009 22:57

Re: Spektrální rozklad matice

#65 05. 01. 2009 00:09

Re: Spektrální rozklad matice

#66 05. 01. 2009 11:00 — Editoval davedino (06. 01. 2009 21:15)

Re: Spektrální rozklad matice

#67 05. 01. 2009 16:54

Re: Spektrální rozklad matice

#68 05. 01. 2009 18:59

Re: Spektrální rozklad matice

peena napsal(a):

#69 05. 01. 2009 21:46 — Editoval peena (05. 01. 2009 21:50)

Re: Spektrální rozklad matice

#70 06. 01. 2009 19:32

Re: Spektrální rozklad matice

#71 06. 01. 2009 20:33

Re: Spektrální rozklad matice

#72 07. 01. 2009 23:48

Re: Spektrální rozklad matice

#73 08. 01. 2009 14:38

Re: Spektrální rozklad matice

#74 08. 01. 2009 19:05

Re: Spektrální rozklad matice

#75 15. 12. 2009 04:39 — Editoval mysteriouss (15. 12. 2009 04:54)

Re: Spektrální rozklad matice

finch.cz napsal(a):

Zápatí