Matematické Fórum

Sanko33

$\lim \frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+3} - \sqrt{n}} * \frac{{\sqrt{n+3} + \sqrt{n}}}{{\sqrt{n+3} + \sqrt{n}}} = lim \frac{(\sqrt{n+2}-\sqrt{n} )*(\sqrt{n+3}+\sqrt{n})}{3} =$
Prosím pomuzete mi ..jak mám upravit ten hořejšek ..zapomněl jsem to jak se to dělá .Děkuji předem dole je vzorec to vím. Jen neumím roznásobit čitatele... spíše nevím jak se to násobí. děkuji za radu.

Rumburak · 17. 04. 2013 09:35

Zkus jít touto cestou:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+3} - \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}}-\sqrt{1}}{\sqrt{1+\frac{3}{n}} - \sqrt{1}} = ...$ .

Sanko33 · 17. 04. 2013 09:54

Ono to bylo tak daný. Já jsem to nerozšiřoval právě.

jelena · 17. 04. 2013 09:59

Zdravím,

mám dojem, že cesta kolegy ↑ Rumburak: se nepoužije, dokud mezi odmocninami je minus. Je třeba rozšíření jak čitatele, tak i jmenovatele dle stejného principu ↑ Sanko33:, ale ještě použit i na čitatel (tedy $\sqrt{n+2}+\sqrt{n}$ ).

Je tak? Děkuji.

Sanko33

$\lim \frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+3} - \sqrt{n}} * \frac{{\sqrt{n+3} + \sqrt{n}}}{{\sqrt{n+3} + \sqrt{n}}} = \lim_{n\to\infty }\frac{2*(\sqrt{n+3}+\sqrt{n})}{3*(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})}=$
A jak dál ->... výsledek vím,že má vyjít 2/3 ,ale nemužu se nějak k tomu dopracovat.

jelena · 17. 04. 2013 11:05

↑ Sanko33:

v první úpravě ještě chybí zápis rozšíření čitatele, výsledek je dobře.
$\lim \frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+3} - \sqrt{n}} \cdot \frac{{\sqrt{n+3} + \sqrt{n}}}{{\sqrt{n+3} + \sqrt{n}}}\cdot \frac{{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}}{{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}} = \lim_{n\to\infty }\frac{2(\sqrt{n+3}+\sqrt{n})}{3(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})}$

teď vytknout $\sqrt n$ ze závorek v čitateli a v jmenovateli.

Sanko33 · 17. 04. 2013 12:02

PRosím ukázal bys mi to jak to přesně je ? Nejsem si moc jistý .Děkuji

jelena · 17. 04. 2013 12:44

↑ Sanko33:

jsem JelenA, tedy ukázalA. Jak jsi vytknul $\sqrt n$ z výrazu $\sqrt{n+3}+\sqrt{n}$ ? Děkuji.

Rumburak · 17. 04. 2013 16:28

↑ jelena:

Ahoj.
Myslel jsem to následovně:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+3} - \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}}-\sqrt{1}}{\sqrt{1+\frac{3}{n}} - \sqrt{1}} = \frac{2}{3}\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}}-\sqrt{1}}{\frac{2}{n}}\, \frac {\frac{3}{n}}{\sqrt{1+\frac{3}{n}} - \sqrt{1}} =\\=\frac{2}{3}\lim_{h \to 0_+} \frac{\sqrt{1+2h}-\sqrt{1}}{2h}\, \frac {3h}{\sqrt{1+3h} - \sqrt{1}} = \frac{2}{3}\lim_{h \to 0_+} \frac{(1+2h)^{\frac{1}{2}}-1^{\frac{1}{2}}}{2h}\, \frac {3h}{(1+3h)^{\frac{1}{2}} - 1^{\frac{1}{2}}}$

s tím, že dále využijeme

$\lim_{t \to 0} \frac{(1+t)^a-1^a}{t} = $\frac{\mathrm{d}x^a}{\mathrm{d}x}$_{x=1} = a$ ,

případně můžeme tento vzorec pro a = 1/2 odvodit pomocí vhodného rozšíření zlomku :

$\lim_{t \to 0} \frac{(1+t)^{\frac{1}{2}}-1^{\frac{1}{2}}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{(1+t)^{\frac{1}{2}}-1^{\frac{1}{2}}}{t}\,\frac{(1+t)^{\frac{1}{2}}+1^{\frac{1}{2}}}{(1+t)^{\frac{1}{2}}+1^{\frac{1}{2}}}= \lim_{t \to 0} \frac{1}{(1+t)^{\frac{1}{2}}+1^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}$ .

jelena · 17. 04. 2013 22:32

↑ Rumburak:

Zdravím (do zítra?) a děkuji :-)

Takový zásadní obrat v postupu jsem nepředpokládala (chtěla jsem vystačit s prostředky ZŠ). A mám pocit, že kolega má největší potíž s vytknutím $\sqrt n$ . Tedy obě naši metody jsou obtížně použitelné. Snad se zorientuje.

martisek · 18. 04. 2013 12:57

↑ Sanko33:

Nevytýkal bych, ale krátil - viz ↑ jelena:

$... = \lim_{n\to\infty }\frac{2(\sqrt{n+3}+\sqrt{n})}{3(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})}=\lim_{n\to\infty }\frac{2(\sqrt{\frac n n +\frac 3 n}+\sqrt{\frac n n})}{3(\sqrt{\frac n n+\frac 2 n}+\sqrt{\frac n n})}=$

Matematické Fórum

#1 17. 04. 2013 01:35 — Editoval Sanko33 (17. 04. 2013 02:04)

Limita

#2 17. 04. 2013 09:35

Re: Limita

#3 17. 04. 2013 09:54

Re: Limita

#4 17. 04. 2013 09:59

Re: Limita

#5 17. 04. 2013 10:12 — Editoval Sanko33 (17. 04. 2013 10:12)

Re: Limita

#6 17. 04. 2013 11:05

Re: Limita

#7 17. 04. 2013 12:02

Re: Limita

#8 17. 04. 2013 12:44

Re: Limita

#9 17. 04. 2013 16:28

Re: Limita

#10 17. 04. 2013 22:32

Re: Limita

#11 18. 04. 2013 12:57

Re: Limita

Zápatí