Matematické Fórum

X3R0Cz · 17. 04. 2013 11:49

Ahoj, chtěl bych poradit s tímto příkladem:

Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel: $x^{3}+5x^{2}+6x=0$

Já jsem postupoval následovně: $x(x^{2}-5x+6)=0$
Vypočítal jsem si pomocnou kvadratickou rovnici a určil, že aby se levá strana rovnala nule, pak
$K=\{0,2,3\}$ , přičemž mi vyšla i zkouška Nevím ale, jestli je to takto správně, protože takto jsem rovnici vyřešil pouze v R.

Prosím o kontrolu, případně rady, jak se to má správně počítat.

Předem díky za odpovědi.

JohnPeca18 · 17. 04. 2013 11:59

Je to v poriadku, tato rovnica nema ziadne komplexne korene. Pokial ti vyjde nezaporny diskriminant, tak to nema komplexne korene.

X3R0Cz · 17. 04. 2013 12:10

Díky za odpověď! :)

Ještě bych se zeptal, jakým postupem mám pracovat s tímto příkladem:
Vyřešte rovnici v oboru komplexních čísel: $x^{3}-5x^{2}+3x-15=0$

Rovnici bych řešil jako tu předchozí, ale nevím, co mám dělat s tím číslem 15.

JohnPeca18

Obecny postup na kubicku rovnicu su Cardanove vzorce, ale myslim, ze to po vas tam nikto nebude chciet. Skor potrebujes jeden koren uhadnut. Konkretne v tomto pripade je jeden koren cislo 5.
Potom si vydelis tuto rovnicu linearnym clenom x-5
Riesis teda $x^{3}-5x^{2}+3x-15:(x-5)=x^2+3$ (jak se deli mnohoclen mnohoclenom je napr. tu http://www.matweb.cz/deleni-mnohoclenu#gsc.tab=0)
A mozes si teda napisat $x^{3}-5x^{2}+3x-15=(x-5)(x^2+3)=0$
V tomto pripade ma rovnica jeden uz spominany koren 5 a potom korene $x=\pm \sqrt{-3}=\pm \sqrt{3}i$

A ako uhadnes koren? Plati ze absolutny clen kubickej alebo hocijakej rovnice je sucin korenov.
Teda ked vides ze rovnica ma absolutny clen 15, tak skusas delitele 15, teda 1,3,5,15,-1,-3,-5,-15.

edit: chybicka