Matematické Fórum

Keeeeke · 17. 04. 2013 23:48

Ahoj,
řešim příklad: Uvnitř ostrého úhlu se nacházejí tři kružnice, které se dotýkají ramen úhlu a první s druhou a druhá s třetí se vně dotýkají. Nejmenší z kružnic má poloměr 1 cm, největší má poloměr 4 cm. Jaký je poloměr prostřední kružnice? Máte někdo nějaký tip?

Zkoušel jsem si to v Geogebře a má to asi vyjít 2 cm... Vidím v tom podobné (stejnolehle) pravouhle trojuhelniky, ale to je asi tak vse..

Díky za každou radu

Arabela · 18. 04. 2013 01:41

Ahoj ↑ Keeeeke:,
vzdialenosť stredu najmenšej kružnice od vrchola ostrého uhla si označ x, hľadaný polomer strednej kružnice nech je r.
Z podobnosti pravouhlých trojuholníkov (najmenšieho a stredného) plynie:
$\frac{x}{1}=\frac{x+r+1}{r}$ .
Odtiaľ po úpravách $x=\frac{r+1}{r-1}$ .
Ďalej z podobnosti pravouhlých trojuholníkov (najmenšieho a najväčšieho) plynie:
$\frac{x}{1}=\frac{x+1+r+r+4}{4}$
a odtiaľ po úpravách $x=\frac{2r+5}{3}$ .
Porovnaním x a po úpravách dostaneme
$r=2$ .

Matematické Fórum

#1 17. 04. 2013 23:48

Poloměr kružnice

#2 18. 04. 2013 01:41

Re: Poloměr kružnice

Zápatí