Matematické Fórum

The_Founder

Čauko všetci,
mám tento príklad a neviem čo s ním...
$x-\sqrt{1-|x|}<0$
Nerovnicu som vyriešil bez problémov, len neviem ako mám prísť na riešenie
Všetky korene a podmienky som vypočítal
pre absolútnu hodnotu $-x$ sú korene $x_{1,2}=\frac{1\mp \sqrt{5}}{2}$ a podmienka $x>-1$
pre absolútnu hodnotu $x$ sú korene $x_{1,2}=\frac{-1\mp\sqrt{5}}{2}$ a podmienka $x<1$

Výsledok má byť $\langle-1;\frac{\sqrt{5}-1}{2})$ a vôbec neviem ako na to.
Rozdelil som si číselnú os na dané intervaly a po dosadí mi to nevýchadza, lebo napríklad pri
$x=-1,5$ mi vyšlo $-1,5-\sqrt{2,5}<0$ a po umocnení
$2,25< 2,5$
čo je pravda, ale podľa výsledku je to zle. Takže neviem, ako to mám riešiť.

bejf · 18. 04. 2013 15:11

↑ The_Founder:
Podmínky jsou:
$\sqrt{1-|x|}\Rightarrow 1-|x|\ge 0$
pro $x<0$ bude
$1-(-x)\ge 0 \Rightarrow x\ge -1$

pro $x>0$ bude
$1-x\ge 0 \Rightarrow x\le 1$

To znamená, že danou nerovnici můžeš řešit v intervalu $\langle -1,1 \rangle$ , takže nám odpadají kořeny
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ a $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
První hranice řešení bude tedy $-1$ , protože po dosazení do původní rovnice nám splňuje danou nerovnost.
Do intervalu $\langle -1,1 \rangle$ nám patří kořeny $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ a $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ což by měly být nulové body kvadratické nerovnice.
Kořeny porovnáš takto $\frac{-1+\sqrt{5}}{2} > \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ a potom ten větší zkusíš dosadit do původní nerovnice.

Zjistíš, že ten větší kořen $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ nerovnost splňuje, takže bude krajním bodem řešení.
Jelikož se množina řešení nesmí nule rovnat, bude na kraji kulatá závorka.
$x\in \langle -1,\frac{-1+\sqrt{5}}{2})$

bejf · 18. 04. 2013 15:23

↑ The_Founder:
Respektive asi lepší řešení pro tebe bude, když to budeš řešit jako soustavu dvou kvadratických nerovnic za podmínek $-1\le x\le 1$ .
$x^2-x-1<0\nl x^2+x-1<0$

Pak spočítáš pro každou nerovnici zvlášť kořeny (nulové body), pro každou nerovnici ti vyjde nějaký interval a jejich průnik s intervalem $\langle -1, 1 \rangle$ je řešení celého příkladu.

Matematické Fórum

#1 18. 04. 2013 14:15 — Editoval The_Founder (18. 04. 2013 14:56)

Iracionálna nerovnica s absolútnou hodnotou

#2 18. 04. 2013 14:29 Příspěvek uživatele bejf byl skryt uživatelem bejf. Důvod: blbě

#3 18. 04. 2013 15:11

Re: Iracionálna nerovnica s absolútnou hodnotou

#4 18. 04. 2013 15:23

Re: Iracionálna nerovnica s absolútnou hodnotou

Zápatí