Matematické Fórum

luko · 04. 01. 2009 12:10

Zdravim

mam problem s nasledujicim prikladem. Indukci mam dokazat ze jeden vyraz je mensi nez 1/4. Pokud je tam rovnost, vzdy se snazim prevest sumu na ten vyraz v pravo. A pricist k oboum stranam nasledujici clen puvodnich vyrazu.

Pokud zde ale neni znamenko rovnosti, tak je to nepouzitelne. Jak bych mel postupovat u teto indukce?

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7B1%7D%7B1*5%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B5*9%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B9*13%7D%20%2B%5Cldots%20%2B%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B(4n%20-3)*(4n%20%2B%201)%7D%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D$

Pavel · 04. 01. 2009 12:50

↑ luko:

Indukcí je možné se vyhnout. Stačí použít identitu

$\frac 1{(4n-3)(4n+1)}=\frac 14\,\biggl(\frac 1{4n-3}-\frac 1{4n+1}\biggr)$

a pomocí ní rozepsat všechny sčítance v levé straně dokazované nerovnosti. Zjistíš, že ti zůstane první a poslední člen, vše ostatní se odečte. Pak už je snadné dokázat to, co potřebuješ.

luko · 04. 01. 2009 12:57

↑ Pavel:

re:
Indukcí je možné se vyhnout. Stačí použít identitu a pomocí ní rozepsat všechny sčítance v levé straně dokazované nerovnosti

mohl by jsi to jeste trochu rozvest nejak se nechytam. Pokud tomu rozumim, rikas abych pravou stranu nahradil levou a pricetl k tomu nasledujici prvek puvodni prave strany?

Pavel · 04. 01. 2009 22:05 — Editoval Pavel (04. 01. 2009 22:06)

↑ luko:

použitím výše uvedené rovnosti si sčítance rozepiš takto:

$\frac 1{1\cdot 5}=\frac 14\,\biggl(\frac 11-\frac 15\biggr)\nl \frac 1{5\cdot 9}=\frac 14\,\biggl(\frac 15-\frac 19\biggr)\nl \frac 1{9\cdot 13}=\frac 14\,\biggl(\frac 19-\frac 1{13}\biggr)\nl \frac 1{13\cdot 17}=\frac 14\,\biggl(\frac 1{13}-\frac 1{17}\biggr)\nl \vdots\nl \frac 1{(4n-3)(4n+1)}=\frac 14\,\biggl(\frac 1{4n-3}-\frac 1{4n+1}\biggr)$

Pravé strany posčítej a uvidíš, že Ti zůstane výraz, který je určitě menší než 1/4.

luko · 04. 01. 2009 22:43

↑ Pavel:

diky moc za radu

Marian · 04. 01. 2009 23:09

Souhlasím s Pavlem, ale otázkou pro mě stále zůstává, zda-li se to přeci jen nemělo řešit použitím matematické indukce. Nebo bylo zadání úlohy volnější a znělo ve smyslu "Dokažte nerovnost ...", kde nebyla specifikována metoda.

luko · 05. 01. 2009 18:13

↑ Marian:

melo by se to resit primo indukci.

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2009 12:10

Mat. indukce

#2 04. 01. 2009 12:50

Re: Mat. indukce

#3 04. 01. 2009 12:57

Re: Mat. indukce

#4 04. 01. 2009 22:05 — Editoval Pavel (04. 01. 2009 22:06)

Re: Mat. indukce

#5 04. 01. 2009 22:43

Re: Mat. indukce

#6 04. 01. 2009 23:09

Re: Mat. indukce

#7 05. 01. 2009 18:13

Re: Mat. indukce

Zápatí