Matematické Fórum

Arabela · 17. 04. 2013 13:07

Dobrý deň. Obraciam sa na tých, ktorí o tom niečo vedia - ja sa už nepamätám, možno sme kadysi na VŠ o tom aj hovorili. Potrebovala by som zistiť, "koľko je" komplexných čísel.Pamätám si, že racionálnych čísel je "toľko isto" ako prirodzených, t.j. alef0. A pamätám si tiež, že reálnych čísel je ostro viac - ten počet sa označuje c a nazýva sa mohutnosť kontinua. Keďže komplexné čísla možno definovať ako usporiadané dvojice reálnych čísel, komplexných čísel by malo byť cxc. Moje otázka znie: je to tiež c? A ak áno, ako by to bolo možné dokázať?... Pomôže mi niekto?

vanok · 17. 04. 2013 13:12

Pozdravujem ↑ Arabela:,
Tu najdes odpoved na tvoju otazku ( a aj viac)
http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinalit … _continuum

martisek · 17. 04. 2013 14:00

↑ Arabela:

Zdravím,

Platí, že mohutnost množiny je stejná, jako mohutnost její kartézské mocniny, tj. Card(AxA) = Card A.

Pro číselné množiny pak

$\aleph_0 = Card \mathbb N = Card ( \mathbb N\times \mathbb N) = Card \mathbb Z = Card ( \mathbb Z\times \mathbb Z) = Card \mathbb Q$

a tedy také

$Card \mathbb R = Card ( \mathbb R\times \mathbb R) = Card \mathbb C$

(ovšem $Card \mathbb Q < Card \mathbb R$ )

Ve VŠ matematice se často uvádí důkaz, že $Card \mathbb Q = \aleph_0$ , jak je to s důkazem, že $Card \mathbb R = Card \mathbb C$ , nevím, ale existuje jedna hezká demonstrace, která se jmenuje Hilbertova křivka a která postupně vyplňuje celý čtverec. Její jednotlivé iterace zobrazují "stále menší části stále delší úsečky" na "stále menší čtverce", až se v limitě zobrazí vzájemně jednoznačně jeden jediný bod přímky na jeden jediný bod čtverce:

Arabela

↑ martisek:
ďakujem. Tá ilustrácia je zaujímavá... Popremýšľam o tom...

↑ vanok:
Vďaka za materiál.

check_drummer · 18. 04. 2013 21:39

martisek napsal(a):
↑ Arabela:
Platí, že mohutnost množiny je stejná, jako mohutnost její kartézské mocniny, tj. Card(AxA) = Card A.

Ahoj, upřesním, že toto platí jen pro nekonečné množiny. U konečných množin to platí pouze pro jednoprvkovou A.

martisek · 18. 04. 2013 22:02

↑ check_drummer:

Samozřejmě - díky za upřesnění.

vanok · 18. 04. 2013 23:32

↑ check_drummer:,
Ano a este aj $card ( \emptyset \times \emptyset) =0$

Arabela · 19. 04. 2013 09:10

Ďakujem všetkým za pomoc.

Rumburak

↑ Arabela:

Ahoj. Mám ještě drobnou poznámku.

Nechť $P$ je množina všech posloupností, jejímiž členy jsou pouze čísla 0, 1 .
Není těžké sestrojit bijekci $f: P\times P \to P$ : Jsou-li $(x_n), (y_n) \in P$ , položíme

$f((x_n), (y_n)) = (x_1, y_1, x_2, y_2, ... )$ .

Odtud se dá dokázat tvrzení, které Tě zajímá. (Množina $P$ má mohutnost kontinua.)

Arabela · 19. 04. 2013 10:41

Ahoj ↑ Rumburak:,
tak toto vyzerá vskutku pekne a zaujímavo... Ako mám ale uveriť, že množina P má naozaj mohutnosť kontinua?

OiBobik · 19. 04. 2013 11:02

↑ martisek:

Když už se tu tak poznámkuje, tak opravím jednu drobnost:
Ta Hilbertova křivka je stejnoměrná limita spojitých zobrazení, je to tedy spojité zobrazení. Nemůže to tedy být bijekce, je to "jenom" surjekce.
(Nahlédnout se to dá zhruba následovně: Kdyby to byla bijekce intervalu na čtverec, pak je to homeomorfismus (důkaz zde), pak (odebráním vnitřního bodu intervalu z domainu a jeho obrazu z oboru hodnot, restrikcí Hilbertovy křivky a přechodem k inverznímu zobrazení)) dostaneme spojitou bijekci mezi souvislým a nesouvislým prostorem. To je spor. )

Rumburak · 19. 04. 2013 11:39

↑ Arabela:

Ako mám ale uveriť, že množina P má naozaj mohutnosť kontinua?

1) Posloupnosti $(x_n) \in P$ přiřadíme reálné číslo $z = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x_n}{3^n}$ , při čemž toto zobrazení je prosté,
takže mohutnost množiny $P$ není větší než mohutnost kontinua.

2) Každé číslo $x \in ( 0, 1 )$ můžeme vyjádřit nekonečným rozvojem

(*) $x = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x_n}{2^n} , x_n \in \{0, 1\}$ ,

čímž je mu přiřazena posloupnost $(x_n) \in P$ . Je-li některému číslu $x$ přiřazeno více takových posloupností,
což se stát může, např. 0,1000000... = 0,0111111111... (míněny rozvoje ve dvojkové soustavě odpovídající formuli (*)),
vyberme z nich jen jednu. Získáme tím bijekci intervalu $( 0, 1 )$ (mohutnosti kontinua) na množinu $P' \subset P$ .
Mohutnost množiny $P$ tedy není menší než mohutnost kontinua.

Podle věty Cantorovy-Bernsteinovy je tedy mohutnost množiny P rovna mohutnosti kontinua.

Arabela · 19. 04. 2013 11:42

↑ Rumburak:
ďakujem veľmi pekne; opäť som múdrejšia...:)

martisek · 19. 04. 2013 12:46

↑ Arabela:

Velmi jednoduše: Mohutnost kontinua má třeba množina R. Reálné číslo je číslo, které lze zapsat pomocí (nekonečné) posloupnosti cifer. Většinou zapisujeme v desítkové soustavě, ale jde to samozřejmě třeba i v soustavě dvojkové. No a tam máme cifry jenom dvě. Takže množinu P můžeme chápat jako množinu všech reálných čísel zapsaných ve dvojkové soustavě.

martisek · 19. 04. 2013 12:50

↑ OiBobik:

Nemůže to tedy být bijekce...

Samozřejmě, že o tom vím (mám dojem, že na každém bodě čtverce "sedí" dokonce tři body křivky), ale nechtěl jsem zabíhat do podrobností. I tak je to ale velice zajímavé - kdybychom totiž neměli k dispozici jiné zobrazení, pak by se podle tohoto dalo soudit, že bodů na přímce je dokonce "víc" než ve čtverci...

Arabela · 19. 04. 2013 13:12

↑ martisek:
super pohľad, ďakujem.

Matematické Fórum

#1 17. 04. 2013 13:07

mohutnosť kontinua

#2 17. 04. 2013 13:12

Re: mohutnosť kontinua

#3 17. 04. 2013 14:00

Re: mohutnosť kontinua

#4 17. 04. 2013 21:06 — Editoval Arabela (18. 04. 2013 01:44)

Re: mohutnosť kontinua

#5 18. 04. 2013 21:39

Re: mohutnosť kontinua

martisek napsal(a):

#6 18. 04. 2013 22:02

Re: mohutnosť kontinua

#7 18. 04. 2013 23:32

Re: mohutnosť kontinua

#8 19. 04. 2013 09:10

Re: mohutnosť kontinua

#9 19. 04. 2013 09:22 — Editoval Rumburak (19. 04. 2013 09:35)

Re: mohutnosť kontinua

#10 19. 04. 2013 10:41

Re: mohutnosť kontinua

#11 19. 04. 2013 11:02

Re: mohutnosť kontinua

#12 19. 04. 2013 11:39

Re: mohutnosť kontinua

#13 19. 04. 2013 11:42

Re: mohutnosť kontinua

#14 19. 04. 2013 12:46

Re: mohutnosť kontinua

#15 19. 04. 2013 12:50

Re: mohutnosť kontinua

#16 19. 04. 2013 13:12

Re: mohutnosť kontinua

Zápatí