Matematické Fórum

didee · 20. 04. 2013 13:46

ahoj, chtěla bych se zeptat, jestli by nebyl někdo tak ochotný a pomohl mi s výpočtem programu průběhu funkce, jsem bezradná. $xe^{-x^{2}}$

Bati · 20. 04. 2013 14:40

Ahoj,
pomůžu se začátkem:
Exponenciela je definovaná pro všechna reálná čísla, tudíž definiční obor celé funkce budou také všechna reálná čísla.
Funkce je lichá, protože $f(-x)=(-x)e^{-(-x)^2}=-xe^{-x^2}=-f(x)$ , takže funkci stačí vyšetřovat tam, kde $x>0$ , kde je jistě kladná, druhá část je symetrická podle počátku.
Limita v nekonečnu: $xe^{-x^2}=\frac{x}{e^{x^2}}\to0\quad x\to\infty$ z l'Hospitalova pravidla.
První derivace: $$xe^{-x^2}$'=e^{-x^2}-2x^2e^{-x^2}=e^{-x^2}$1-2x^2$=0\Leftrightarrow1=2x^2\Leftrightarrow x=\pm\frac1{\sqrt2}$ . Nás ale teď zajímá jen $x=\frac1{\sqrt2}>0$ . Pro $x\in$0,\frac1{\sqrt2}$$ je derivace kladná, takže funkce je zde rostoucí, pro $x>\frac1{\sqrt2}$ je derivace záporná a funkce je zde klesající. Takže nalezený extrém je lokální maximum. Je navíc i globální, protože limita funkce v nekonečnu je nula a pro všechny x menší než nula je funkce záporná, přičemž nalezený extrém je kladný.
Atd. (vyšší derivace)
Dobré je si také všimnout, že derivace v nule je jedna, což pomůže při kreslení obrázku.